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1、第十五讲 2012.12.29 高等光学高等光学 光学工程硕士研究生课程 7-4 光在光纤中的传播 一、光纤的基本知识 二、光纤中光导波的射线光学分析 三、阶跃光纤中导波的物理光学分析 四、光纤的色散与脉冲展宽、损耗 光纤:一种圆柱对称介质波导,具有圆柱结构折射率分布;能够传 输光频电磁波;由纤芯、包层和护套三部分组成。满足一定的入射 条件时,光波就能沿着纤芯向前传播。 导波原理及分析方法:与介质平板光波导分析相似, 直角坐标处理不适用,应在柱坐标系中求解 波动方程。 一、光纤的基本知识 护套包层纤芯 2a 1、一般介绍 按折射率分布的方式分类:阶跃折射率光纤和梯度折射率光纤 按传输的模式数量
2、分类:单模光纤和多模光纤 按传输的偏振态分:单模光纤可进一步分保偏光纤非保偏光纤 按制造光纤的材料分,有: 高纯度熔石英光纤,材料的光传输损耗低,有的波长可低到0.2dBkm, 一般均小于ldBkm; 性能好,常用于通信 多组分玻璃纤维,芯-皮折射率可在较大范围内变化,有利于制造大数值 孔径的光纤,但材料损耗大,在可见光波段一般为:1dB/m 塑料光纤,成本低,缺点是材料损耗大,温度性能较差;但易于耦合、 制作容易,用于短距离能量传导等 红外光纤,可透近红外(1 5m)或中红外(10m)光波; 液芯光纤,特点是纤芯为液体,可满足特殊需要; 晶体光纤,纤芯为晶体,可用于制造各种有源和无源器件。
3、2、光纤的分类 3、光纤的结构参数 (1)直径 纤芯直径2a、包层直径2b 为何要细?成本,光纤直径应尽量小, 机械强度和柔韧性,石英光纤很脆,粗则易断; 为何要粗?对接、耦合、损耗 权衡后:总粗小于150。 典型单模光纤芯径约10(多取9),包层直径125 多模阶跃光纤芯径62.5,包层直径125 得: 光纤界面光传输情况 (2)数值孔径: N.A. 全反射要求: 只有 的光锥内的光才可能在光纤中发生全反射而向前传播。对于波长 处典型值 , ,可算得 (7)。 光纤可能接受外来入射光的最大受光角 的正弦与入射区折射率的乘积。 代表光纤接收入射光的能力 (3)相对折射率 对于阶跃型光纤,假设
4、是包层折射率, 是纤芯折射率,且 , 和 的差值大小直接影响光纤的性能。引入相对折射率差表示其相差程度。 对于通信光纤,n1n2,上式简化成为 对于渐变型光纤,若轴心处(r=0)的折射率为 ,则相对折射率差定义 为: 光纤波导的弱导条件 弱导的基本含义是指很小的折射率差就能构成良好的光纤波导结构,为制造提供了很 大的方便。 (4)归一化频率(V) 表示在光纤中传播模式的多少,定义为: 式中,a为纤芯半径(m); 为波长(m); n1, n2分别为纤芯和包层折射率; 它与平板波导中的归一化频率定义一致。a和 N.A.越小,V越小,在光纤中的传播 模式越少。一般地,当 时,只有基模能传播;而当 时
5、,为多模 传输态。 纤芯折射率分布通式为: (5)折射率分布n(r) 为纤芯中心折射率,r取值范围为0ra, 为折射率分布系数。 取值不同,折射率分布不同: 时,折射率为阶跃型分布。 2时,折射率为平方律分布(渐变型分布的一种)。 1时,折射率为三角型分布。 a n2 n1 r 纤 芯 阶跃型 a n2 n1 r 纤 芯 渐变型 n1 a n2 r 纤 芯 三角型 二、光纤中光导波的射线光学分析 1、子午光线 子午面:入射光线与光纤轴线决定的平面 入射角通过光纤轴线且大于临界角时,光将在柱面上不断发生反射, 形成曲折型传导光线,其轨迹始终处于子午面内,称之为子午光线。 子午光线在阶跃型光纤中的
6、传播 子午光线传播的条件: (1)芯层折射率n1必须大于包层折射率n2; (2)光线在芯/包界面上必须发生全反射,包层内折射光线的 折射角大于或等于90,则对应的芯层的入射光线的入射角 必须大于或等于临界角 ,即: 。 (3)对应光纤入射端面上的入射光线的入射角 (又称孔径角 ,受光角)必须小于或等于临界孔径角 (最大受光角), 即: 光纤位于空气中时,其光路长度为: 子午光线行进的光路长度 式中, 受光角为 时的光路长度,L是纤维长度。由上式可知,光路 长度与纤维直径无关,只取决于纤维的入射角、芯料的折射率和纤维长度。 光在纤维内部全反射的次数,可用下式计算 : 式中, 是受光角,d是纤维直
7、径 2、斜光线在阶跃型多模光纤中的传播 斜光线: 不通过光纤波导轴线的传导 光线,按空间折线传播,空 间折线不在一个面内。 斜光线传播过程中总与一个圆柱面相切 斜光线传播应满足的条件 : 光线传播路径不在一个平面内,也不与光纤轴线相交; 入射方向单位矢量: 入射点矢径: 为方向余弦 全反射条件 入射线,反射线,法线共面 第m次反射时入射方向单位矢量 第m次反射时出射方向单位矢量 反射点法矢量(径向矢量) 由上可导出斜入射光线沿光纤轴线方向传播的条件: 特殊情况:入射点在子午面上,有: 1) 式中无M0,入射光线与y轴夹角可为任意; 2) 即使与y轴接近0,也会被限制在芯内,只是传播速度慢; 3
8、) 斜光线更易被光纤收集。 限定入射点的位置与方向: 三、阶跃光纤中导波的物理光学分析 1、场方程 满足的波动方程为 在圆柱坐标系中上式化为 采用分离变量法,令 ,则上式可化为三个独立的方程: 假设光纤为无限长圆柱系统,芯区半径 ,介电常数 (折射率 );包层沿 径向延伸至无限远,介电常数 (折射率 ); ,无损。一般实用的光 纤芯区 高于包层 2%4% 。包层延伸至 ,这一假定主要是考虑到实际 导波模包层内的场随 r 的增加迅速衰减。 (1) 设光沿z向传播,由(a)式,并考虑到无穷远处场有限,可得: (a) (b) (c) 考虑到光纤的柱对称性,稳定的电磁场沿向的分布必须是以2为周期的函数
9、,即正 弦或余弦函数(虚指数函数),因而由(b)并考虑边界条件=0处场有限,可得: 对于式(c),令 、 ,可得: 贝塞尔函数曲线 典型Bessel方程,解为各类Bessel函数: 实宗量Bessel函数: 为实数,即: 第一类 , 处为有限 第二类 , 处为有限 虚宗量Bessel函数: 为虚数,即: 第一类 , 处为有限 第二类 , 处为无限 2、模式分析 (2) 时: 芯中,s为实数,且场有限第一类Bessel函数 芯外,s为虚数且 场有限第二类虚Bessel函数 ,沿径向指数衰减 芯内振荡、芯外指数衰减的导模分布 若m0,则E与 无关,导模为轴对称场,相应于子午光线; ,对应于 ; 若
10、 ,则E沿 向周期性变化,为斜光线; ,相当于 边界条件: 和 处连续 ,且在 处 、 对于任意 z 及角均连 续 (1) 时:纤芯和包层中s均为虚数,Bessel方程解为虚宗量Bessel函数。 芯内场有限第一类虚宗量Bessel函数 包层内 时场应有限第二类虚宗量Bessel函数 无法做到两类函数边界连续,因而没有物理意义 芯和包层中均为振荡场,光向包层辐射,形成连续辐射模。 (3) ,芯内外的s均为实数, 芯内场有限第一类Bessel函数 ; 包层中 时有限两类实宗量Bessel函数均满足条件,取 为汉克尔(Hankel)函数(即第三类Bessel函数): 3、导模的解及特征方程 式中
11、根据 、 、 的表达式,得出导模的解: 于是: 用纵向磁场表达横向磁场,有: 将 代入,并考虑边界连续条件,得到导模特征方程: 从特征方程中可以解出u 或者w,从而确定沿z方向传播的传播常数 对弱导光纤,近似有: 则相应的特征方程为: 详见陈军著“光学电磁理论”(科学出版社)Chap.6 4、导模的模式分类及相应的特征方程 (1)TE、TM模 光纤中仅存在模阶数=0的TE、TM模 TE模和TM模的截止频率 在w 0 条件下,由特征方程解得其截止状态的特征方程为: 即归一化截止频率是零阶贝塞尔函数的根: 光纤中任意一个传播模式必须满足波导参数大于截止频率: 满足最低归一化频率模( TE01和TM
12、01)的截止波长: 特征方程 2.405, 5.520, 8.654,- - -零阶贝塞尔函数的根 (2)EH、HE模 EH: HE: Ez大的称为EH模 Hz大的称为HE模 EH模截止频率 在W 0 条件下,由特征方程 解得其截止状态特征方程为 Jm(uc)= 0 即归一化截至频率UC 是m阶贝塞尔函数的零点: 最小归一化频率为: 最小截止波长为: HE 混合模的截止频率 在w 0 条件下,由特征方程 其截止状态特征方程分为两种情况: m = 1 ,截止状态特征方程为: 归一化截至频率为: (一阶贝塞尔函数的零点) 其中HE 11模是光纤中的主模 理想极限: 其截止频率为: 截至波长为: 可
13、以以任意低的频率在光纤中传播,不存在截止。 m 2,截止状态特征方程为: 归一化截止频率为: ( m = 2、3、4 - - -,n =1、2、3 - - - ) m是贝塞尔函数的阶数,n是贝塞尔函数的零点; 当m = 2时,就是零阶贝塞尔函数的根,与TE01模和TM01模具有相同的截 止参数,成为简并模。 例:某光纤 a = 4.0m, 0.003 ,纤芯折射率n1=1.48, 对TE01和TM01模: 最简单的模式TE01模和TM01在工作波长 =1.31 m时不能传播,只能传播 =0.85 m的光波。 对EH 11模: =0.85 m的光波也不能传播。 光通信工作波长在1.31 m和1.
14、55 m,早期的协议规定用1.31 m,如果取 0.003 , n1=1.46,则光纤的半径应该满足: 这就是单模光纤直径选在89 m的依据。 (2)对于斜射光线,m0,此时,直接求解本征方程是很复杂的,在远离截止条件 下解本征方程知:这时 存在着两种不同的模式,相应场 的纵向分量 均不为零,但与横向 分量相比都弱得多,称混合模。这两种模是+1对应 的的EH模和 -1对应 的HE模,它们在边界 上( )横向分量均为零,且在同一 m 值下,传输 的能量比较,HE模比EH模更集中于光纤 中心,而 m 越大,场越集中于边界;两种模式横向分量振幅相等,但位相不等,EH模的 超 前 相位 ,HE模的 落后 相位 。EH和HE模的阶次表示为 和 ,其中 m 表示场沿角向变化周期次数,n 表示径向变化周期次数(不含原点O)。 (1)对于子午光线,m=0,这种光线在光纤中的行为类 似平面波导的情形,因而可能存在TE 、TM两种模式,且两种模式均只有三个场分量(TE模 ;TM模 ),解 模式本征方程后知:模场沿向分布没有变化,而场的横向分量沿径向的分布均正比 ,因而在轴上为零场点,场沿径向的变化次数由 的根的数目来决定。若用模指数m来 标记这 些根的序号,则模式记作