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1、F F 拉杆：等直杆 轴向拉力F 轴向（纵向）伸长 第二章 轴向拉伸和压缩 2-1 概 述 F F 压杆：等直杆 轴向压力F 轴向（纵向）缩短 dxD 观察与思考图示各杆件的BC 段是否是轴向拉伸 （压缩）？ A B C D F （a） A B C D F （b） F A B C F （c） y nn 横截面上的正应力材料在拉压时的力学性能 拉（压）杆的内力 拉（压）杆的强度拉（压）杆的变形和位移 应力集中 一、杆件的内力 杆件在外力作用下要发生相应的变形，因此， 在杆件任一截面的两侧存在着抵抗变形的相互作用 力，通常称为内力。 杆件的内力 横截面上的内力 斜截面上的内力（第九章） 2-2 拉
2、(压)杆的内力 问题I什么是内力？ 问题II如何求内力？ 问题III内力沿杆长如何分布？ 二、截面法 横截面上的内力 （1）截开 （2）代替 （3）平衡 (a) F F m m m m (c) (b) m m F F FN FN x 求内力的一般方法 轴力：FN 和 FN 的作用线必然与杆轴线重合即 与横截面垂直，是横截面上法向分布内力的合力。 轴力的正负号规定：引起伸长变形者为正，即 指向背离横截面者为正，这样的轴力称为拉力；引 起缩短变形者为负，即指向对着横截面者为负，这 样的轴力称为压力。 轴力的单位：N 或 kN。 注意：FN的正负号规定仅具有变形意义而 不具有代数意义。为了使FN 计
3、算结果的正负号 即代数意义的正负号与规定的正负号即变形意 义的正负号一致，应预先假设FN 的指向背离横 截面即预先假设FN为拉力，计算结果为正者是 拉力，计算结果为负者是压力。 F F m m (c) FN (a) F F m m (b) m m FN x （拉） 正号说明：FN 的实际指向与假设的指向相同， 实际指向背离横截面，即FN 为拉力。 FN FN (d) F F m m m m (f) (e) m m x F F 负号说明：FN 的实际指向与假设的指向相反， 实际指向应对着横截面，即FN 实际为压力。 （压） 注意：在用截面取分离体之前，作用于物体上的外 力不能任意移动或用静力等效
4、的相当力系替代。 (a) F F F F (b) m m (a) F A CB FN=F m m C F B (d) m m FN=F F m m C (e) B A C (b) F A m m A C (c) A F FN=0 m m C (f) B 观察与思考一等直杆受力如图(a)所示。根据理 论力学中力的可传性原理，将力F 移到C 点图(b) 和A点图(c)。然后按(a)、(b)、(c)图，分别求 m-m 横截面上的轴力。由计算结果，你认为在应用力的 可传性原理时应注意些什么？ 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的大小，所 绘出的轴力与横截面位置
5、函数关系的图线。 三、轴力图 F5 F4= 2F5 F3=2.5F5 F2=5.5F5F1=4F5 A B C D E 问题III轴力随横截面位置的变化规律是怎样的？ 例 试作图示等直杆的轴力图。 求固端轴向反力解 A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 600300500400 1800 FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 FRFN1 1 1 A FR F1 FN2 A B 2
6、2 注意：假设各横截面的轴力均为拉力。 FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 F3 F4 FN3 3 3 D E F4 FN4 4 4 E 20 10 5 FN图(kN) FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 50 观察与思考本题的轴力图有哪些特点？ 各段材料相同时危险截面在何处？ 例 试作图示阶梯形杆的轴力图。 F F Fq=F/l l2ll FR 1 1 2 2 3 3 F F Fq F F F FR F=2ql 解求固端轴向反力 x1
7、 2 F F Fq 1 1 23 3 x F q=F/l F F F F x1 F F F + - + 观察与思考均布荷载作用区段的轴力图有 什么特点？各段材料相同时危险截面在何处？ F F Fq=F/l l2ll x 2-3 横截面上的正应力 问题I材料相同、轴力相等、横截面大小不同的 两根拉杆，哪一根先被拉断？ 轴力大小 横截面尺寸 问题II横截面大小相同、轴力相等的钢拉杆和木 拉杆，何者先被拉断？ 受力的程度 材料的强度 拉(压)杆的强度 应力：单位面积上内力的大小。 一、应力与应变的概念 A上的平均应力 B点的总应力 m m A B p B m m F 总应力p 正应力 :法向分量,
8、引起长度改变 切应力 :切向分量，引起角度改变 拉为正，压为负。 对截面内侧任一点产生顺时针力矩者为正， 反之为负。 p m m m m A B F B A m m F B FN FS p m m B 应变 线应变 ：单位长度的长度改变量（无量纲） 切应变g ：直角的改变量（单位：rad） 某点沿某方向的线变形程度， 伸长为正，缩短为负 某点处某两个正交方向绕另一正 交方向的转动变形程度（3-3） s s s s B点处沿s方向的平均线应变 B点处沿s方向的线应变 B s B 二、横截面上的正应力及其分布 必须首先确定横截面上分布内力的变化规律 已知静力学条件 m m F F m m F m
9、m F FN FN 逆向思维 横截面上分布内力的变化规律 杆件内部的变形规律 观察杆件变形时的表面现象 由表及里的变形假设 变形与分布内力间的物性关系 两条横向线在杆变形后仍保持为直线，仍 相互平行，仍与轴线垂直。 原为平面的横截面在杆变形后仍保持为平 面，仍相互平行，仍与轴线垂直。 表面现象 拉压平面假设 ac bd F F ac bd 推论 （1）根据平面假设，相邻两横截面间的所有纵 向纤维的伸长是相同的; （2）根据材料的连续均匀假设，横截面上的分 布内力是连续均匀分布的。 F F ac bd ac bd 拉（压）杆横截面上正应力的计算公式 即横截面上正应力 处处相等，于是有 适用条件
10、材料连续均匀，平截面假设成立。 实验研究及数值计算表明，Z 形薄壁截面 杆，大锥度变截面杆，横截面尺寸突变处(如阶 梯形杆，有切口、切槽、螺纹、油孔等)，非均 匀加载方式的荷载影响区，平截面假设不成立， 上述公式不适用。 不适用的情形 非均匀加载方式如集中力作用点附近区域， 平面假设不成立，正应力计算公式不适用，但影 响区的长度不超过杆的横向尺寸。 三、圣维南原理 F F F F 影响区 影响区 例 一阶梯形立柱受力如图a所示，F1=120kN，F2= 60kN，柱的上、中、下三段的横截面面积分别为A1 =2104 mm2，A2=2.4104 mm2， A3= 4104 mm2。 试求立柱的最
11、大工作正应力（不计自重）。 F1 I F2 II F2 III F1 F2 F2 （a） 120kN 240kN 360kN （b） 解 作立柱的轴力图如图b 所示，分三段计算工作 正应力 （压应力） 比较得 （压应力） （压应力） （压应力） F1 I F2 II F2 III F1 F2 F2 （a） 120kN 240kN 360kN （b） 例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的 拉应力。已知： 可认为径向截面上的拉应力沿壁厚 均匀分布 解： d b p 根据对称性可得，径截面上内力处处相等 d y FN FN d pp FR j dj d y FN FN p FR 观察与思考如
12、何求习题2-4中拉杆EG和 压杆DE横截面上的正应力？ q A D C F B E G FA FB E FNDE FNAE FNEG FNEG=? q A D C FxC E FNEG FA FyC 2-4 斜截面上的应力 55 问题为什么灰口 铸铁压缩试样的破坏 断口为斜截面？ 由静力平衡得斜截面上的 内力： F F k k F F k k F F p k k 变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压） 变形后仍相互平行。 推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长 变形相同。 即斜截面上各点处总应力相等。 F F 为拉(压)杆横截面上( )的正应力。 F F p k k FF k k A A
13、 总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力： p 通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况， 成为该点处的应力状态。 对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上 一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为 单向应力状态。 p 讨论： （1） （2） （横截面） （纵截面） （纵截面） （横截面） p 55 55 55 f f 内摩擦应力。与破 坏断面相切，与 55 方向 相反。当试样沿斜截面有 相对滑动趋势时由 55产 生。 当 55 - f 首先达到铸铁材料的剪切强度极限时，试 样沿斜截面被剪断。 观察与思考图示拉杆由横截面面积A=4cm2 的两部分沿斜截面m-n胶合而成。拉杆的强度
14、由胶合面控制，胶合面能承受的最大正应力 = 100MPa，最大切应力= 50MPa。斜截面 角度（060）取何值时拉杆承受的拉力 F最大？ F F m n 2-4 拉（压）杆的变形和位移 问题I什么是变形？如何表示拉（压）杆的 变形？ 问题II影响拉（压）杆变形的因素有哪些？ 如何计算拉（压）杆的变形？ 问题III什么是位移？如何表示位移？ 问题IV影响位移的因素有哪些？如何计算 拉（压）杆（系）的位移？ 变形是物体体积、形状的变化。可根据变形特点 用变形特征量来表示。变形是标量。 位移是物体上的点、线、面在空间位置上的改变 。 位移不仅与杆件的变形量有关，而且与杆件受到 的外部约束（如支座）
15、和内部约束（如节点）有 关。位移是矢量。 F F b l l1 b1 拉(压)杆的变形特点是纵向伸长（缩小），横向 缩小（增大）。 一、纵向变形 绝对变形 长度量纲； 伸长为正，缩短为负 。 拉（压）杆的胡克定律（1676,1678） 实验表明：当拉（压）杆横截面上的正应力不 超过材料值比例极限时，变形是弹性的，且 引入比例常数E E 材料的弹性模量，反映材料抵抗拉（压）弹性 变形的能力，是材料的一种力学性能（材料常数）； 量纲：ML-1T-2，单位: Pa，常用GPa； E值因材料而异，由实验测定（表2-1）。 EA 杆件的拉伸（压缩）刚度。 k =EA /l 杆件的线刚度或刚度系数：杆件产生单位 变形所需的力（l=1时的F 值）。 问题l 不等、l 相等的两根拉杆，何者的纵向变 形程度较大？ 纵向线应变：单位长度的纵向变形，无量纲； 伸长为正，缩短为负。 相对变形 拉（压）各部分的纵向变形是均匀时，有 单向应力状态下的胡克定律 拉（压）杆的胡克定律 （特殊） （一般） 当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不 均匀变形时，不能用总长
