二次根式的概念和性质

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1、二次根式二次根式1. 1.二次根式的概念二次根式的概念 正数有正数有两个两个平方根且平方根且互为相反数互为相反数； 0 0有一个平方根就是它本身有一个平方根就是它本身0 0； 负数负数没有没有平方根。平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是的平方根是什么什么?16的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？2、0的平方根是的平方根是什么？什么？0的算术平方根的算术平方根是什么？是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；都有算术平方根；负数没有算术平方根负数没有算术平方根。试一试试一试 ：说出下列各式的意义；观察：

2、观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、 表示什么？表示什么？表示非负数a的算术平方根1. 1.二次根式的概念二次根式的概念注意：注意：为了方便起见，我们把为了方便起见，我们把一个数的算术平方根一个数的算术平方根也叫做二次根式也叫做二次根式。如。如 是不是是不是二次根式二次根式?思考：思考：不是不是,它它是二次根是二次根式的代数式的代数式式.定义：定义： 像像 , , 这样表示的算这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。二次根式。2. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根号形式上含有二

3、次根号4. a0, 0 5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根( ( 双重非负性双重非负性) )例例1 : 判断判断，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . 不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数被开方数零；零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。练习：练习： x取何值时

4、取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零分母中有字母时，要保证分母不为零。正数正数0没有没有x2x2 1要使下列式子有意义，求字母要使下列式子有意义，求字母 的取值范围的取值范围（）（）（）（）（）（）练习与反馈练习与反馈题型题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.1. 当当 _ _时，时， 有意义。有意义。 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围解得解得 -

5、 5x- 5x3 3解：解： 说明：二次根式被开方数说明：二次根式被开方数不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范围常转式中字母的取值范围常转化为不等式（组）化为不等式（组） 33有意义的条件是有意义的条件是 . .2.+ 2（）（）（）当时，（）当时，（），（），则的取值范围是则的取值范围是（）若，（）若，则的取值范围是则的取值范围是求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下小结一下 ?二次根式的性质（）二次根式的性质（）二次根式

6、的双重非负性解析二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求例已知，求xy的值的值解：解：，x，yxy初中阶段的三个非负数：初中阶段的三个非负数：(a)题型题型:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用.1.1.已知：已知： + =0, + =0,求求 x-y x-y 的值的值. .2.2.已知已知x,yx,y为实数为实数, ,且且 +3(y-2) +3(y-2)2 2 =0, =0,则则x-yx-y的值为的值为( ( ) ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-1解：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 x

7、-4=0 且且 2x+y=0 2x+y=0解得解得 x=4,y=-8 x=4,y=-8x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12D D注意：注意：几个非负数的和为几个非负数的和为0 0，则每一个非负数必为，则每一个非负数必为0 0。练习练习.已知，求已知，求x、y的值的值.x=2，y=3a4.已知已知 ，求，求a的值的值. a- -4=9，则，则 a=13n12n = 3，8，11，12二次根式的性质（）二次根式的性质（）试一试（试一试（试一试（试一试（3 3 3 3）计算: 想一想想一想 等于什么等于什么?请举例验证请举例验证. = = = 3520.0

8、4性质：性质：试一试（试一试（试一试（试一试（4 4 4 4）把下列各数写成平方的形式：3= ，利用这个式子，我们可以把任何一个非负数非负数写成一个数的平方的形式。如 4= 。 根据等式的定义，可得 。我们已经得到:面积面积5a-a|a|02233二次根式的性质（）二次根式的性质（）试一试试一试1.计算下列各题计算下列各题:(1)(2)2.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )A. x1 B. x1 C. 0x1 D.一切有理数一切有理数3. 与与 是一样的吗？是一样的吗？4.你的理由是什么，请小组讨论一下。你的理由是什么，请小组讨论一下。 a（ ）21、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？ 课堂小结课堂小结例例2 计算：计算：例例3 计算：计算：补充：补充：分别说出下列各式成立分别说出下列各式成立的的a a的取值范围：的取值范围：x0 , 4x0,例例5 5: :已知已知:x0 )( a =0 )( a 0 )归归纳纳题型：利用进行分解因式例：分解因式：练习在实数范围内分解因式练习在实数范围内分解因式（1）（2）