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1、391试根据变分原理导出完全柔软的均匀弦的横振动方程。 取弦上足够短的一段，该段弦的动能为dx 2 1 2 u dx t ，势能为 2 1 2 u Tdx x ，弦的 Hamilton 作用量() 1111 0000 22 1 , 2 txtx tx txtx uu SF u udxdtTdxdxdt tx =+ 。 该泛函的 Euler-Lagrange 方程为 22 22 0 tx FFuu T tux utx +=+= 。 392设，( )yy x=(),F y y不显含x，证明： () ( )( ) , , b a J yF y y dx y aA y bB = = 取极值的必要条件
2、是 F yF y = C（常数） 。 x b bb aa x a FFFFdF J yyydxyyy dx yyyydx y = = =+=+ 0 b a FdF ydx ydx y = =， 所以0 FdF ydx y = 。 由于0 dFFdFFFdFF yFyyyyy dxyydx yyydx yy =+= ， 所以 F yF y = C。 393求泛函 ( )( ) 1 2 0 1 00,11 J yy dx yy =+ = 的极值曲线。 Euler-Lagrange 方程为 2 0 1 dy dx y = + ，所以 2 1yCy+=，可得 1 yC = ，积分得 ( ) 1 y x
3、C xC=+ 2，由边界条件得y x=。 394如下图所示，写出单位球面上从 A 点到 B 点的“短程线”所满足的微分方程，并求出 短程线。证明此短程线在过 A，B 两点的大圆上。基于对称性的考虑，不妨取 A 点坐标为 ()( 00 ,0, =)0)，B 点坐标为( 11 , 。 （单位球面上弧元为 22 sindsdd 2 =+） A， B 间弧长为 1 22 0 1sinsd =+ （dd = ） ， Euler-Lagrange 方程为 2 22 sin 0 1 sin d d = + ，即 2 22 sin 1 sin C = + ，代入 A 点坐标可得 0C =，所以0 d d =，
4、即 1 C=，代入 B 点坐标得 1 =，这正是在大圆上。 395一质点在重力作用下沿光滑曲线由点() 11 ,x y运动至点() 22 ,xy（见下图） 。试求“捷 线” （即质点沿此曲线运动费时最少）所满足的微分方程。 () 2 01 2 ds vvg y dt =+ y， 所以 () () () () 222 111 2 , 2 2, 01 01 1 2 2 xyx x yx dsy td vg yy vg yy + = + + x。 记() () 2 2 01 1 , 2 y F y y vg yy + = + ，由 392 题结论， F yF y C = ，即 ()() 2 2 22
5、2 0101 11 1 122 y yC yvg yyvg yy += + ，还可写成 () 2 01 2 1 2 1 C vg yy y = + + 。 396 若( )y x使泛函 () ( )( ) , , , b a J yF x y y dx y aA y bB = = 在限制条件 () 1 , , b a JyG x y y dxC= 下 取极值， 且相应的 Lagrange 乘子0， 试证明( )y x也使泛函在 () ( )( ) 1 , , , b a JyG x y y dx y aA y bB = = 限制条件 (), , b a J yF x y y dx= D下取极值
6、。 第一个泛函极值问题引入 Lagrange 乘子，则( )y x满足() b a FG dx 的 Euler-Lagrange 方程：0 FGFG yy yyyy += ，由于0，方程两边乘 1 得 11 0 GFGF yy yyyy += ，这正是 1 b a GF d x 的 Euler-Lagrange 方程，即 ( )y x是第二个泛函极值问题的解。 397过二已知点() 11 ,x y，() 22 ,xy作一曲线，使此曲线绕x轴旋转所得曲面面积最小，求 曲线作满足的微分方程。 旋转面面积为 () () 222 111 , 2 , 221 xyx x yx Sydsyy dx=+ ，
7、由 392 题结论，Euler-Lagrange 方程 为 2 2 2 1 1 yy yy y += + C，即 2 1 y C y = + 。 398试写出本征值问题 2 0 0 uu u u n += += 所对应的泛函极值问题。设0。 由于，所以() 2 u uuuuu= +() 2 uuu uuu= ， ()() 2 VV uuudVu uuuu u dV += + ()() 2 1 2 VV u udSuuu u dVu udSuuudV n = = ? () 22 1 0 2 V u dSuuudV = + = ? 即对应泛函 2 0 V u dSuudV u u n + += ?
8、 在条件 2 V u dVC= 下的极值。 399设有一长为 1 的弦，由同种质料组成，线密度( )1xx= +（01x） ，则振动方程 为() 22 2 1 uu xT tx += 2 ，试用 Ritz 方法求出两端固定时的最低固有频率。 令()( ), i t u x ty x e =，代入方程得() 2 10yx T y+=。 对应泛函() 2 1 2 0 1yx y T + 2 dx 的极值。取一组基函数展开( )y x：( ) 1 n kk k ycx = =， 泛函化为( )( )()( )( ) 2 1 0 1111 1 nnnn klklklklkl klkl c cxxxxx
9、dxc c f T = += 。 要使它取极值，只需使它对（ k c1,2,kn=?）的偏导数为 0，即 1, 20 n lklkkk ll k c fc f = += ，写成矩阵式， 1,2,k=?n ) 11112 1 22122 2 12 2 2 0 2 n n nnnn n fff c fff c fff c = ? ? ? 解之即可。 400用 Ritz 方法求出的最低两个本征值的近似值，取试探函数为： ()( ) 0 10,10 yy yy + = = （1）； （2） ()( 2 22 12 11ycxc xx=+ ()() 2 222 12 11ycxc xx=+。 该边值问题对应泛函在约束条件 1 2 1 y dx 1 2 1 y dxC = 下的极值问题。后面步骤略。
