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1、社会统计学 陈磊 哲学与社会学学院 假设检验的步骤 (1)根据实际问题作出原假设和备择假设。 (2)根据样本容量选择合适的统计量，并在H0 成立的条件下确定统计量的分布。 (3)根据需要确定显著性水平，并计算出临界 值和拒绝域。 (4)计算与统计量对应的样本观测值，若观测 值落入拒绝域，则拒绝零假设；否则接受 零假设。 二、小样本假设检验 1. 总体均值的检验 例4：大多数的水处理厂会每小时监控饮用水 。监控的指标之一是pH值，它是衡量水的酸 碱度的指标。pH值小于7.0的液体呈酸性，大 于7.0的为碱性，等于7.0的是中性，饮用水的 理想pH值为8.5。现有一水处理厂一小时内的 17个水样本
2、的pH值的均值和标准差分别为 x = 8.42，s = 0.16。这一结果是否说明该厂饮 用水的pH值不是8.5？ 解：我们设零假设H0 ： = 8.5 备择假设H1： 8.5 问题(1) 当样本容量较小时，我们不能从中心 极限定理得出样本均值 x 是满足正态分布的。 因此我们必须假设所检验的总体是满足正态分 布的。这样，当总体方差已知时，x 满足正态 分布。 问题(2) 若总体标准差未知，当样本容量较小 时，我们无法保证 s 是的较好估计。因此， 我们在对总体均值作估计时，用t分布而不用 正态分布。 我们知道对于小样本观测量，统计量 t = 满足自由度k =171= 16的t分布。 x s/
3、n t t分布 = 0.025 2.1199 = 0.025 -2.1199 因此，拒绝域为(-, -2.1199)和(2.1199, +)。由 于样本均值 x = 8.42，样本标准差s = 0.16，所 以样本统计量 t = = -2.05。由于-2.05没 有落入拒绝域，因此，我们接受零假设，认为 该厂的饮用水的pH值为8.5。 注：如果我们用正态分布来检验这个问题，我 们可查得临界值为1.96，则拒绝域为(-, -1.96) 和(1.96, +)。这样，样本统计量 t = -2.05将落 入拒绝域，我们将认为该厂饮用水的pH值不是 8.5。因此，我们要仔细检验和理解统计过程中 所用到的
4、统计量以及假设。许多统计“谎言”都 是由于错误地使用了不合适的统计分布或统计 量等。 8.42 8.5 0.16/17 例5：一个汽车制造厂想要测试一种新的发动机 以确定它是否符合新颁布的空气污染标准。已 知这一型号的发动机的排气标准为小于20个立 方单位二氧化碳/升。这一型号的所有发动机的 排气量水平满足正态分布。现生产10台发动机 用以测试它们的排气量。所得数据如下： 15.6 16.2 22.5 20.5 16.4 19.4 16.6 17.9 12.7 13.9 上述数据是否能够使得厂家得出如下结论：这 种发动机符合符合标准？假设显著性水平= 0.01。 解法1：我们设零假设H0 ：
5、= 20 备择假设H1： 20 当= 0.01时，单边检验的拒绝域为( 2.8214, + )。 通过计算，我们有 x = i =17.17，s = (i x )= 2.98 计算统计量的值得：t = = = -3.00 由于-3.00在拒绝域外，因此我们否定备择假 设，即20 。 x s/n 17.17 20 2.98/10 1 n n i=1 1 n-1 n i=1 我们知道对于小样本观测量，统计量 t = 满足自由度k =101= 9的t分布。 x s/n 为了进一步研究，调查结果支持= 20还是 20，我们再作一次假设： 零假设H0 ： = 20 备择假设H1： 20 统计量 t =
6、满足自由度k =101= 9的t 分布。当= 0.01时，单边检验的拒绝域为(- , -2.8214)。 统计量的观测值为 t = -3.00，落入拒绝域。 因此我们拒绝零假设，接受备择假设，即 20，这种发动机的尾气排放量符合符合标 准。 解法2：设零假设H0 ： 20 备择假设H1： 20 x s/n 统计量 t = 满足自由度k =101= 9的t 分布。当= 0.01时，单边检验的拒绝域为 (2.8214, +)。 将x, s, , 代入统计量公式，观测量 t = t = x s/n x s/n x s/n 注： (1) 若用解法2，由于 20，因此t不能具体 算出，无法检验。但我们知
7、道，用= 20计 算得到的观测量t落入拒绝域，则t也必定落 入拒绝域。因此，在单边检验中，我们都采 用解法1的假设方法。 (2) 在单边检验中，通常将零假设设为已知的 总体参数，备择假设按照实际要检验的问题 进行设置。 2. 正态总体方差2的检验 例6：某研究人员为了证实六年级小学生智商 (IQ)的标准差是小于15。从总体中随机抽查了 共30名学生。其结果有：平均智商X = 105， 样本方差：S2 = 196。 问该研究人员的看法能否被证实(= 0.01)？ 解：设H0：= 15 H1： 14.257，因此，我们拒绝备择假设 15，认为该研究人员的看法不能被证实。 2 = 0.01 14.2
8、57 n1 2 301 152 假设检验和参数估计 共同点： (1)假设检验和构造置信区间都是以样本数据 为基础，作出关于参数值的结论。 (2)都将考虑情况分为大样本和小样本两类。 对于每类情况，两种方法使用的统计量都相 同。 不同点： 假设检验的焦点是一个特殊的值，而参数估 计是用一个区间来“网”真值。在许多方面置 信区间比假设检验提供的信息更多，但假设 检验还是被广泛地利用。 例7：海洋中最可怕的肉食动物之一是大白鲨 。据调查，大白鲨的平均身长为21英尺。然 而，一位海洋生物学家认为，由于不寻常的 进食习惯，从百慕大群岛游出的大白鲨的身 长不同于一般的大白鲨。为了证实他的断言 ，科学家冒险
9、捕获3只从百慕大海域游出的成 年大白鲨，测量完身长后将它们放生。三只 大白鲨的身长分别为24英尺、20英尺和22英 尺。这些数据能够验证这位海洋生物学家的 观点吗？ = 0.10 解：我们分别假设检验和区间估计的方法分 别对这个问题进行解答。 假设检验： H0： = 21 H1： 21 由于样本数量很少(n =3)，且大白鲨身长分 布符合正态分布， 则统计量 t = 满足自由度为2的t分布。 当= 0.10时，查表得 t (0.1/2) (2) = 2.9200，即 拒绝域为(-, -2.9200.)和(2.9200, +)。 样本均值 x = = 22，S2 = (24 22)2+(2022
10、)2+(2222)2 = 4， 而样本统计量t = =0.8662.9200 x s/n 24+20+22 3 1 2 2221 2/3 区间估计： 该问题为小样本情况下，总体满足正态分布， 但2未知，则 t (n1)， 显著性水平= 0.10，则置信度1=0.90。 x (S/n) 我们知道： P( x t/2( ) x +t/2( ) )= 1， 其中(t/2) =/2，即置信度为0.90的总体均值 的置信区间为： 222.9200( )，22+2.9200( )， S n S n 2 3 2 3 这样，我们不能接受备择假设，即我们不能认 为从百慕大海域游出的大白鲨的身长不同于其 他大白鲨
11、。 即19.63，25.37。由于一般大白鲨的体长均值 21 19.63，25.37，因此我们认为从百慕大 群岛游出的大白鲨的身长与一般的大白鲨相同 。 前五章小结 第一章 知识点：变量的层次 掌握重点：各类层次变量之间的区别，联系 和使用原则。 第二章 知识点：统计表、统计图；集中趋势测量 法，离散趋势测量法 定类变量 定序变量 定距变量 (定比变量) 掌握重点： 1. 变量取值的两个原则 2. 各类变量对应的统计图和统计表的做法。尤 其对于连续型定距变量，要掌握变量的分组 规则、分点精度(使用真实组界)。 3. 掌握直方图和折线图的画法，尤其当变量采 用非等距分组时，注意纵轴应表示(相对)
12、频 次密度。 4. 掌握众值、中位值和均值的计算方法及它 们的适用范围和表现力。 5. 掌握异众比率、极差、四分互差和方差(标 准差)的计算、它们的适用范围和表现力及 它们与上述三种集中趋势测量法的呼应。 完备性 互斥性 难点： 1. 对连续型定距变量进行分组时分点精度的 确定，分清真实组限和标定组限。 2. 用(相对)频次密度表示直方图中纵轴的距 离。 3. 中位值及四分互差的计算。 练习 剑鱼的身体吸收水银，水银含量超过1.00ppm ( 即百万分之一)的剑鱼对人体有害。在28条剑鱼 的样本中，我们发现其水银含量如下： 0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.72 0.81
13、0.82 0.84 0.91 0.95 0.98 1.02 1.08 1.14 1.20 1.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68 1.85 2.10 1. 根据所给的数据做出统计表并画出直方图和 折线图。 2. 以0.07 0.54；0.61 0.98；1.02 1.20； 1.26 1.44；1.58 2.10为分组办法做出统计 表及直方图。 解：R = LS = 2.100.07 = 2.03 把数据分成4组，组距h = = 0.509 0.51 根据组距和分点精度比原统计数据精度高 一位的原则，将数据分为如下4组： 0.065
14、0.575；0.575 1.085；1.085 1.595； 1.595 2.105 2.03 4 组组 号i 真实组实组 界限 (ppm) 中心值值 (ppm) 频频次 (条) 相对频对频 次 = ni /n i 频频次密 度= ni /组组 距 1 2 3 4 0.065 0.575 0.575 1.085 1.085 1.595 1.595 2.105 0.32 0.83 1.34 1.85 4 10 10 4 0.14 0.36 0.36 0.14 7.84 19.61 19.61 7.84 总总 和 n i = 281.00 银鱼体内水银含量统计表1 0 0.065 0.575 1.
15、085 1.595 2.105 ppm 频次 密度 21 14 7 0 0.065 0.575 1.085 1.595 2.105 ppm 频次 12 8 4 组组 号 i 真实组实组 界限 (ppm) 中心 值值 (ppm) 频频 次 (条) 累计频计频 次 cf（ 条） 相对频对频 次 = ni /n i 频频次密度 = ni /组组距 1 2 3 4 0.065 0.545 0.545 0.985 0.985 1.205 1.205 1.445 1.445 2.105 0.315 0.765 1.095 1.325 1.775 4 8 5 6 5 4 12 17 23 28 0.14 0.29 0.18 0.21 0.18 8.33 18.18 22.73 25 7.58 总总 和 n i = 281.00 2. 解：银鱼体内水银含量统计表2 频次 密度 25 20 15 10 5 0.065 0.545 0.985 1.205 1.4
