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1、第三节第三节 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) P(A )=3/10， 如如:10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品中件正品中有有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取一件，件中任取一件
2、，记记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)则则P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据的时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件.在某个缩小了的范围内来考虑问题在某个缩小了的范围内来考虑问题. 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A
3、中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生, 故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)2. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.3. 条件概率的性质条件概率的性质 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(
4、A|B）=B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数 例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1解法解法2 解解 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用应用 定义定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在
5、这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是标准个是标准件，现从这件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙厂这个零件是乙厂生产的标准件生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产, A=是标准件是标准件由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而而 P(AB)=P(BA)二、二、 乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)
6、时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的
7、什么也没其余的什么也没写写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也
8、就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：计算得： 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说， 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别
9、编号为1,2,3.1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取某人从三箱中任取一箱一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:三、全概率公式三、全概率公式 将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得得到到在在概概
10、率计算中常用的率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥一个事件发生一个事件发生. 某某一一事事件件A的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因 ，如如果果A是是由由原原因因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率发生的概率是
11、各原因引起是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解 由由此此可可以以形形象象地地把把全全概概率率公公式式看看成成为为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关. 全全概概率率公公式式表表达了它们之间的关系达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因B是结果是结果 例例 甲
12、、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率三人击中的概率分别为分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落的概率为机被一人击中而击落的概率为0.2,被两被两人击中而击落的概率为人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求求飞机被击落的概率飞机被击落的概率. 设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式则则 A=B1A+B2A+B3A解解依题意，依题意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B
13、1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)可求得可求得 为求为求P(Bi ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.于是于是该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因
14、”. 在实际中更为常见，在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的号箱的概率概率.1231红红4白白或者问或者问:四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式看一个例子看一个例子:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白个白球，球，2号箱装有
15、号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自1号箱的概率号箱的概率. 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4
16、白白? 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在观察到它是在观察到事件事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反，患者对一种试验反应是阳性的概率为应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概，正常人对这种试验反应是阳性的概率为率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症
17、”. 已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概
18、率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只
19、有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计有了新的估计. 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为原因分别称为原因的的先验概率先验概率和和后验概率后验概率.
