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1、 自动控制理论 1/40 第二章 控制系统的数学模型 机电学院自动化研究所：柯海森 仰仪南楼310 电话：86914549 自动控制理论 2/40 2.1 列写系统微分方程式的一般方法 2.2 非线性数学模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统框图及其等效变换 2.6 信号流图和梅逊公式的应用 2 控制系统的数学模型 2.5 控制系统的传递函数 自动控制理论 3/40 系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其 它变量之间关系的数学表达式。 2.1 列写系统微分方程式的一般方法 实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述 （例如微分方程、传递函数等） 。 建立合理的控制系统数学
2、模型是控制系统分析中最重要 的内容，与系统性能密切相关。 自动控制理论 4/40 2. 状态变量描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关 系，而且还可以描述系统的内部特性。或称内部描述，例如状 态变量空间法（矩阵），适用于多输入、多输出系统，也适用 于时变系统、非线性系统和随机控制系统。 控制系统中常见的两种数学模型形式： 1. 输入输出描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用 数学方式表达出来。或称端部描述，例如微分方程、传递函 数、框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。 2.1 列写系统微分方程式的一般方法 自动控制理论 5/40 数学模型分为静态模型和动态模型两种。 系统的动态特性
3、 建立系统数学模型 2. 根据所应用的系统分析方法，建立相应的数学模型。 1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决 定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。 2.1 列写系统微分方程式的一般方法 微分方程 代数方程 解析法 实验法 自动控制理论 6/40 1.明确系统每一元件的输入输出量：根据基本的物理、化学 等定律，列写出系统中的输入与输出的微分方程式。 2.明确系统的输入输出量：各元件方程叠加，消中间量，求 得系统输入输出微分方程； 3.标准化处理：与输出量有关项列左侧，输入量有关项列右侧 。 建立系统微分方程的步骤： 2.1 列写系统微分方程式的一般方法 例2-1：图2
4、-1为一R-L-C电路，其 输入电压为ur，输出电压为uc。试 写出ur与uc之间的微分方程式。 图2-1 R-L-C电路 解： 根据电路理论中的基尔霍 夫定律，写出下列方程式 消去中间变量，则得 （2-1） 在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到它与相邻 元件间的相互影响。下面举例说明 例2-2：已知R-C网络如图2-2所 示，试写出该网络输入与输出 间的微分方程。 图2-2 R-C滤波网络 解：对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律写出下列方程组 消去中间变量 ，得 （2-2） 可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。 例2-3：设弹簧-质量-阻尼器系 统如图2-3所示。试
5、求外力与质 量块位移之间的微分方程式。 式中，f 为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。 （2-3） 经变换得 解：根据牛顿第二定律得 可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。 自动控制理论 10/40 2.2 非线性数学模型的线性化 严格讲，构成控制系统的元件，在其输出信号与输入信 号之间，都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动 态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于 高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的 解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将 会遇到困难。 问题提出 自动控制理论 11/40 2.2 非线性数学模型的线性化 但是，如果
6、对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研 究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其 输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的，并可用常系数 线性微分方程来描述。这种将非线性微分方程在一定条件下近 似转化为线性微分方程的方法，称为非线性微分方程的线性化 。通过线性化得到的线性微分方程将有条件地、近似地描述系 统的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化 微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。 自动控制理论 12/40 2.2 非线性数学模型的线性化 线性化的基本思想 1. 对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一 些简单的函数来近似表达。 2. 由多项式表示的函
7、数，只要对自变量进行有限的加、减 、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用 多项式来近似表达函数。 自动控制理论 13/40 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点。非线 性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏 离很小。 微偏法： 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数 理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级 数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代 替原来的非线性方程。这种线性化的方法就叫做微偏法。 2.2 非线性数学模型的线性化 自动控制理论 14/40 必须注意：如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的， 而是呈
8、现折线或跳跃现象，如图2-10，那么就不能应用微偏法。 y x y x 图2-10 本质非线性特征 2.2 非线性数学模型的线性化 y x y 。 x 。 x A 图2-11非线性特征的线性化 设一非线性元件的输入为x、输 出为y，它们间的关系如图2-11 所示，相应的数学表达式为 y=f(x) （2-5） 在给定工作点（ ）附近，将上式展开为泰勒级数： 或写为 （2-6） 式（2-6）就是式（2-5）的线性化方程。 0 微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型， 通过求解，可以得到系统在给定信号作用下的输出响应。 1）求解难度大； 2）很难反映系统的结构、参数与其性能间的关系。 在控
9、制工程中，一般也不需要精确的知道其输出响应。 希望用简单的方法判断系统的稳定性和动态性能指标，以 及判别当系统中某些参数改变或校正装置对系统性能的影响。 以传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上 述要求。 自动控制理论 17/40 v拉普拉斯变换 v传递函数的定义 v传递函数的基本性质 v典型环节函数的数学模型 2.3 控制系统的传递函数 自动控制理论 18/40 拉普拉斯变换 1. 复数有关概念 复数 复函数 例： 2. 拉氏变换定义 3. 几种常见函数的拉氏变换 单位阶跃： 单位速度： f (t)=t 单位加速度： p30 指数函数： p30 正弦函数： 0 微分的拉氏变换 令
10、微分定理：设 则 积分定理：设 则零初始条件下有 若 其中分母多项式可以分解因式为： Pi为A(S)的根(特征根)，当无重根时： 自动控制理论 23/40 例1： 待定系数法 代入特殊值 x=3 得 B=6 x=2 得 A=-5 拉普拉斯变换 自动控制理论 24/40 例2： 解： 终值定理（极限确实存在时） 拉普拉斯变换 自动控制理论 25/40 引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数 代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的 图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态 结构图）、分析控制系统的运动过程（见根轨迹法、奈奎斯 特稳定判据），以及综合控制系统的校正
11、装置（见控制系统 校正方法）提供了可能性。 拉普拉斯变换 自动控制理论 26/40 2.3 控制系统的传递函数 微分方程式的阶次一高，求解困难，且计算量也大。 对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的 输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。 对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。 问题的提出： 在控制工程中，一般并不需要系统的精确解，而是希望用 简单的方法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征， 能判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。 自动控制理论 27/40 传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下系统（或元 件）输出量的拉氏变换
12、与输入量的拉氏变换之比。 设系统输入r(t)，输出c(t) 则系统传递函数为 当传递函数和输入已知时C(s)=G(s)R(s)。通过反变换可 求出时域表达式c(t)。 2.3 控制系统的传递函数 将上式求拉氏变化，得(令初始值为零） 称为环节的传递函数 式中：r(t)为输入信号，c(t)为输出信号 为常系数, 设系统或元件的微分方程为： 因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态 性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条件为零 。 系统阶次 系统极点 系统零点 特征方程 p21 自动控制理论 29/40 以Ur为输入，I为输出： 经拉氏变换得到 2.3 控制系统的传递函数 R-L-
13、C电路 经拉氏变换得 经拉氏变换得 自动控制理论 传递函数的求取方法及应用举例 v 依据系统微分方程确定输入输出间传递函数； v 依据微分方程组代入消元法求传递函数； v 电网络可利用复阻抗直接求取传递函数； v 依据系统输入输出信号求取传递函数。 自动控制理论 方法3 求解如下： 复阻抗(R,1/CS,LS)和分压定理使电网络传递函数的求 取过程大大简化。 p28 自动控制理论 系统单位输入及零初始条件下的输出相应为： 求传递函数 方法4 关于传递函数的几点说明 v 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分 方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 v 传递函数不能反映系统或元
14、件的物理性质。物理性质截然不 同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数 所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。 v 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。 只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 v 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多 个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其 它的输入量一概视为零。对于多输入多输出系统，不能用一 个传递函数去描述，而是用传递函数矩阵去表征系统的输入 与输出间的关系。 v 传递函数忽略了初始条件的影响。 v 传递函数是S的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于 分子的阶次m，此时称为n
15、阶系统。 v 一个传递函数由相应的零、极点组成。 自动控制理论 36/40 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利 用传递函数，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用 下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响-分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合 2.3 控制系统的传递函数 1. 比例环节（又叫放大环节） 特点：输出量按一定比例复现输入 量，无滞后、失真现象。 运动方程: c(t)=Kr(t) K放大系数，通常有量纲。 传递函数： 2. 微分环节 运动方程： 传递函数： 3. 积分环节 4. 惯性环节(又叫非周期环节) 特点：其
16、输出量延缓地反映输入量的变化规律 传递函数：运动方程： 5. 振荡环节 式中：阻尼比，T振荡环节的时间常数。 特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有周期性振荡的性质。 运动方程： 传递函数： 6. 纯滞后环节 x(t) t y(t) t 特点：它的输出是经过一个延迟时间后， 完全复现输入信号，如右图所示。 其传递函数为： 延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统 是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下： 或 自动控制理论 42/40 小 结 1. 不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。 如前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另 一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 2. 同
