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1、华中科技大学 硕士学位论文 一类经典趋化性模型行波解的存在性 姓名：娄翠娟 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：杨茵 20080428 I 摘 要 摘 要 在这篇文章中，我们研究了一类K-S模型平面行波解的存在性.K-S模型是经 典的趋化性模型，它描述了生物对化学物质的应激性，有效地控制化学物质可以 引起生物的趋化行为，这种现象在微生物学中是非常普遍的.种群密度u和化学 物质浓度v构成的趋化性模型为 ( )( )() () , ,. t t ud uuu H v vvg u v = = + 这里d表示扩散系数，可以和种群密度有关，H表示灵敏度函数.回馈反应 用(),g u v描述.第
2、一个方程是守恒的，u的总量是不变的，也就是种群不繁殖. 提出了这个模型不久，Keller 和 Segel 针对描述某些细菌存在行波带的系统， 试图寻找行波解的存在性.简化模型后， 尤其是不考虑化学物质的扩散， 即0=， 在对数规则下,即( )( )logH vv=时，他们得到了行波解.随后，Rosen 扩大了反馈 函数g的范围，Keller, Odell 将灵敏度函数取成了 p Hv= ，但反馈函数依然 受到了严格的限制，并且他们的方法只适用于不考虑化学物质的扩散.后来， Nagai 和 Ikeda 讨论了gu= 时的化学物质具有扩散性的模型，Horstmann 和 Stevens 提出了一种
3、同时调节灵敏度函数和反馈函数的构造性方法，以保证行波 解的存在性.Schwetlick 和 Hartmut 考虑了化学物质的扩散，证明了灵敏度函数 的奇性是存在有界行波的必要条件，给出了 gvu v =时行波解存在和不存 在的条件.此外，他们还考虑了细胞或某些生物个体的繁殖或死亡，认为当灵敏 度函数非奇时，行波解是可能存在的.然后，黎勇在() 0 ,g u vv u = 时，就0= 和0，讨论了行波解的存在性. 本文研究了这类常见的趋化性模型Keller-Segel模型在不考虑物种繁殖的 情况下行波解的存在性，结果表明对数规则下的带化学物质扩散项的模型，对多 种反馈函数都存在行波解，并且我们得
4、到了反映细菌浓度变化的脉冲解.在忽略 了化学物质扩散后，在一定条件下我们也得到了行波解的存在性.相互比较后我 II 们发现在同样的参数要求下，忽略了化学物质扩散时，系统存在行波解的可能性 变得小多了. 关键字：趋化性 Keller-Segel 模型 行波解 III Abstract In this article we study the existence of planar traveling wave solutions for a class of Keller-Segel models . The Keller-Segel system is the classical model
5、for Chemotaxis, i.e., the active motion of a population according to a chemical signal. A reactive control of the chemical allows the population to feedback into the taxis mechanism. Such a phenomenon is commonly faced in microbiology. The system for a population density u and the chemical v reads (
6、 )( )() () , ,. t t ud uuu H v vvg u v = = + Here d denotes the diffusion coefficient, possibly density dependent, and Hthe sensitivity function. The feedback reaction is described by (),g u v. As the first equation is of convergence form, the total mass of u is conserved meaning that the population
7、 is in a non-proliferating stage. Shortly after the proposition of the model Keller and Segel searched for traveling wave solutions of the system allowing to describe the experimental observed traveling bands of certain bacteria . For a simplified model, in particular, neglecting diffusion of the ch
8、emical, i.e., 0=, they could show the existence of traveling wave solutions for the sensitivity ( )( )logH vv=. Subsequently, Rose n generalized the feedback g and Keller, Odell the sensitivity to p Hv= . But still the class of feedback reactions was very restricted and no diffusion of the chemical
9、could be included by their methods. Much later, Nagai and Ikeda could consider a diffusing chemical together with a simplified feedbackgu= . Recently, Horstmann and Stevens proposed a constructive approach to relate several sensitivity and feedback functions, which do allow for traveling wave soluti
10、ons.Schwetlick and Hartmut proved a singular sensitivity function is necessary IV for the existence of bounded traveling waves and gave conditions for the existence and nonexistence of traveling waves with gvu v = . Moreover they introduced growth and annihilation effects in the equation of the cell
11、 density u, traveling waves are possible non-singular, physically reasonable sensitivity functions, e.g., ( )H vv= or ( ) v H v v = + . Then Li Yong discussed the existence of traveling wave solutions with () 0 ,g u vv u = when 0= or 0. In this paper we study the existence of traveling wave solution
12、s of the Keller-Segel model, a general model of chemotaxis,where the species do not reproduce. In the case of logarithmic sensitivity and a diffusing chemical,we show that various functions modeling the reactive feedback on the chemo-attractant do allow for traveling waves . We can get pulse solutio
13、ns in the density of the bacteria. Meanwhile we can also get the existence of traveling wave solutions on some conditions when neglecting the diffusion of the chemical. Comparing with each other, we find that the probability of the existence of traveling wave solutions becomes smaller with the same
14、parameters when neglecting the diffusion of the chemical. Keywords Chemotaxis Keller-Segel Model Traveling Wave Solution 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果.尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明.本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担. 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书
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16、运动可分为定位的运动及不定位的运动.前者为狭义的 趋性，也称定向趋性（topotaxis） ，通常所说的趋性多指后者.即由于刺激种类 的不同，趋性可分为趋化性、趋氧性、趋光性、趋触性、趋渗透压性、趋湿性、 趋地性、趋电性、趋温性、趋流性、趋音性等.不论在哪种情况下，凡向刺激源 方向运动者为正趋性，向刺激源相反方向运动者为负趋性.趋性对于低等生物的 行为， 具有极重要的意义.例如小动物的向光行动 （称正趋光性） 或背光行动 （称 负趋光性）. 趋性属于定型反应，是本能行为中最简单的一种.菜粉蝶幼虫受芥子油气味 的吸引而在十字花科植物中觅食的行为可称为正趋化性， 但哺乳动物的复杂觅食 行为因夹杂大量习得成份而不被视为趋性行为.人们早已在生产实践中利用动物 的趋性行为.黑光灯捕蛾便是利用蛾类的正趋光性，而避蚊油则是利用蚊虫对某 些化学物质的负趋化性. 另一个普遍存在的
