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1、华中科技大学 硕士学位论文 一类混沌金融系统的控制设计 姓名：宋银芳 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：杨晓松 20061001 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 I 摘摘 要要 混沌是指在确定性非线性系统中出现的内随机行为，由于其自身对初值的敏感 性和发展趋势的不可预测性，混沌控制就成为混沌应用的一个具有挑战性的研究课 题，并逐渐渗透到各个领域中,包括经济金融系统。 本文介绍了经济混沌产生的背景、现状及意义，综述了几种典型的混沌控制方 法：1 OGY 方法， 2 连续反馈控制法， 3 周期扰动抑止混沌。针对一类混沌金融
2、系 统，补充与完善了其平衡点的稳定性分析，并设计了三种控制：1 利用 Cascade 系统 渐进稳定性质设计非线性控制，2 设计脉冲控制，3 利用小增益定理(Small-gain theorem)设计线性控制； 其中前两者是传统的方法设计， 而后者是在此基础上提出的。 随后通过比较，发现方法 1 设计的控制是非线性的，没有可行性；方法 2 设计的控 制是离散性的，便于操作，但控制度太大；而由小增益定理设计的控制具备前两者 的优点：不仅使系统全局稳定，混沌彻底消失，而且是线性控制，强度适中，简单 可行，比传统设计控制好，是一种比较理想的控制选择,最后指出了该文的不足并进 行了展望。 以上控制的设
3、计，为政府及时才取适当的经济政策和调控力度以避免经济混沌 带来的危害提供了一定的理论依据；此外,从侧面反映出小增益定理设计控制是一种 新颖有效的控制方法,值得推广。 关键词关键词: 混沌 反馈控制 脉冲控制 小增益定理 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 II Abstract The chaos refers to stochastic behavior appearing in the definite nonlinear system, as a result of its oneself to the initial valu
4、es sensitivity and the trend of development unpredictability, the chaos control becomes the chaos application to have the challenging research topic, and seeps gradually to each domain in, including economical system. In this paper, we introduce the background of economical chaos, the present situat
5、ion and the significance, review several typical chaos control method: 1 OGY method, 2 continuous feedback controls, 3 periodic perturbation to restrain the chaos. In view of a kind of chaos financial system, we supplement the stable analysis of equilibrium points, and design three classes of contro
6、ls: 1 nonlinear control by cascade-system asymptotic stability, impulse control and linear control by the small-gain theorem ; Afterwards through the comparison, we discover the first class of control is non-linear, and unfeasible ; the second class of control is advantageous for the operation, but
7、controls the system too to be big; the class 3 designed by the small gain theorem has both merit : it causes system global asymptotic stable to any equilibrium point, moreover is the linear control, simple and feasible. Compared to the traditional design, it is one kind of good control choice. Final
8、ly we point out the insufficiency of this paper and make a prospect. Through above control design, the government can adopt the suitable economic policy to avoid the harm brought by economical chaos. In addition, reflected from the side the method of control designed by the small gain theorem is one
9、 novel effective control method, which is worth generalizing. Key words : chaos feedback control impulse control small-gain theorem 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出过贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：
10、 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本文授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存或汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1
11、 1 绪论绪论 1.1 混沌及混沌控制的产生与发展 混沌是指在确定性非线性系统中出现的类随机行为；其最大特点是对初值的敏 感性和未来发展趋势的不可预测性。在自然界中，诸如物理，化学，生物学以及技 术科学和社会科学领域中都普遍存在着混沌现象 41 。虽然早在 19 世纪法国数学家 Poincare 就已经隐约意识到混沌的存在，但是明确的混沌现象却是直到 1963 年才由 美国科学家 Lorenz 发现；混沌的发现，将确定性运动和随机性运动联系到了一起。 此后混沌理论迅速发展壮大,现在方兴未艾 6, 5 ，下面作简要介绍： 1963 年美国数学家 E.N. Lorenz 在著名论文“非确定性周期流
12、” 7 中讨论了天气 预报的困难和大气湍流现象, 他从对流问题中提炼出一组三维常微分方程来描述天 气情况，发现了天气演变对初值的敏感依赖性（即著名的“蝴蝶效应” ） ，得到了 混沌第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕。 1964 年法国天文学家 Henon M 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发， 给出了 Henon 映射 8 ，并得到了一种简单的吸引子；1971 年法国物理学家 Ruell D 和荷兰数学家 Takens F 为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念，提出了一个新 的湍流发生机制，以揭示湍流的本质 9 。 1975 年美籍华人学者 Li T Y 和美国数学家 Y
13、orke J A 在美国 数学月刊 发表了 “周期 3 意味着混沌”的著名文章 10 ，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。并 首次科学的给出了混沌定义： 设J是一个一维区间，JJF:是连续的。称F在J是混沌的。如果： （1）任取Fk, 2 , 1?=总存在周期为k的周期点， （2）存在一个不可数集JS ，S不含任何周期点，并且满足： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 (a) 任取qpSqp ,，有： 0)()(suplim qFpF nn n ， 0)()(inflim= qFpF nn n . (b) 任取,Sp和周期点Jq
14、，有： 0)()(suplim qFpF nn n . 在此基础上，1978和1979年Feigenbaum等人发现了倍周期分岔通向混沌的两 个普适常数，即Feigenbaum数 12,11 ；混沌运动研究中普适常数的发现，标志着混沌 这门新科学的相对成熟，混沌动力学于是形成。 随着混沌理论研究的不断加深，人们逐渐认识到混沌运动对一些系统带来的危 害，如混沌运动会使机电系统或电路产生不规则的振动，导致系统运动完全偏离目 标，一些混沌甚至会给系统带来灾难性的后果，因此，在某些实际系统中，控制混 沌就显得非常重要。 由于混沌系统对初始条件极端的敏感性，并由此带来了系统的最终不可预测性， 最初只有极
15、少数的人对混沌控制的可能性及实现进行了探讨，得到的成果也非常有 限，从60年代混沌研究的正式兴起到80年代末，仅有Hubler,Pettin和Fowler等极 少数的几个人对混沌控制的可能性进行了探讨 13 ；直到1900年，美国Maryland大 学的Ott,Grebogi和Yorke才提出了一种比较系统和严密的参数微扰方法，即 OGY 方法 14 ；同年，该校的Ditto等人利用OGY方法首次在磁弹体上实现了对不动点的 稳定控制 15 ， 也是在同一年， 美军海军实验室的Pecora和Carroll 16 提出混沌同步原 理并首次在电子线路上实现。随后混沌控制迅速发展，成为学术研究热点，并
16、逐渐 渗透到各个领域，甚至延伸到经济管理学。 1.2 经济混沌的产生及研究意义 1980年司徒泽(M.Stutzer)首次在哈维尔模经济增长方程中揭示了混沌现象， 使人 们认识到建立在传统的经济学理论基础之上经济模型也具有内在的随机性，给当今 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 的西方主流经济学新古典主义产生了巨大的冲击（他们一直认为经济波动源于经济 之外因素的冲击） ，并拉开了经济混沌研究的序幕。紧接着司徒泽的开创性工作,1981 年美国经济学家哈比伯(J.Benhabib)和德依（.Day)在经济研究评论上发表了论文 合理选择与不规则行为 ，应用混沌理论研究效用的函数的长期性态，经推导得到 一个短期需求函数，它是一个动力系统，系统的长期性态可以是稳定的，周期的， 混沌的。1982，1983年，德依研究了包括人口自然出生率，生产率和人均工资的古 典经济增
