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1、课程编号: 150050 复变函数与积分变换教案 胡政发 二八年二月 复变函数与积分变换教案目录 目录 第一章 复数与复变函数.1 1.1 复数及其代数运算 .1 1.1.1 复数的概念1 1.1.2 复数的代数运算.1 1.1.2.1 复数的四则运算1 1.1.2.2 共轭复数 .2 1.2 复数的几何表示 .3 1.2.1 复平面 3 1.2.1.1 复平面及复数的点表示.3 1.2.1.2 复数的向量表示4 1.2.1.3 复数的三角表示式 .6 1.2.1.4 复数的指数表示式 .6 1.2.2 复球面 9 1.3 复数的乘幂与方根 . 10 1.3.1 乘积与商 10 1.3.1.1
2、 复数的乘积. 10 1.3.1.2 复数的商 . 12 1.3.2 幂与根 13 1.3.2.1 复数的幂 . 13 1.3.2.2 复数的根 . 14 1.4 区域及其连通性 . 16 1.4.1 复平面区域 16 1.4.1.1 区域的有关概念 16 1.4.1.2 区域的有界性 17 1.4.2 单连通域与多连通域 17 1.4.2.1 平面曲线的复数表示 . 17 1.4.2.2 简单曲线与区域的连通性 18 - I - 湖北汽车工业学院理学系胡政发 1.5 复变函数. 19 1.5.1 复变函数的定义. 19 1.5.2 映射的概念 20 1.5.2.1 由函数构成的映射 . 20
3、 1.5.2.2 逆映射与反函数 20 1.6 复变函数的极限和连续性 21 1.6.1 函数的极限 21 1.6.2 函数的连续性 . 23 第二章 解析函数 24 2.1 解析函数的概念 . 24 2.1.1 复变函数的导数与微分 24 2.1.1.1 导数的定义. 24 2.1.1.2 可导与连续. 25 2.1.1.3 求导法则 . 26 2.1.1.4 微分的概念. 26 2.1.2 解析函数的概念. 27 2.2 函数解析的充要条件. 28 2.3 初等函数. 32 2.3.1 指数函数 33 2.3.2 对数函数 34 2.3.3 乘幂与幂函数 . 36 2.3.4 三角函数和双
4、曲函数 37 2.3.5 反三角函数与反双曲函数 . 40 第三章 复变函数的积分. 42 3.1 复变函数积分的概念. 42 3.1.1 积分的定义 42 3.1.2 积分存在的条件及其计算法. 43 3.1.3 积分的性质 47 3.2 柯西古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 . 48 3.3 基本定理的推广复合闭路定理 49 3.4 原函数与不定积分 . 51 - II - 复变函数与积分变换教案目录 3.5 柯西积分公式 55 3.6 解析函数的高阶导数. 58 3.7 解析函数与调和函数的关系 . 61 第四章 级数 . 67 4.1 复数项级数 67 4.1.1 复数列的
5、极限 . 67 4.1.2 级数概念 68 4.2 幂级数 . 70 4.2.1 幂级数概念 70 4.2.2 收敛圆与收敛半径 72 4.2.3 收敛半径的求法. 74 4.2.4 幂级数的运算和性质 75 4.3 泰勒级数. 78 4.4 洛朗级数. 83 4.4.1 双边幂级数 83 4.4.2 双边幂级数的收敛性 84 4.4.3 函数展开成洛朗级数 85 4.4.4 利用洛朗级数求积分 90 第五章 留数 . 92 5.1 孤立奇点. 92 5.1.1 可去奇点 92 5.1.2 极点. 93 5.1.3 本性奇点 94 5.1.4 函数的零点与极点的关系 . 94 5.1.5 函数
6、在无穷远点的性态 97 5.2 留数 . 100 5.2.1 留数的定义及留数定理 100 5.2.2 留数的计算规则. 102 5.2.3 在无穷远点的留数 105 - III - 湖北汽车工业学院理学系胡政发 5.3 留数在定积分计算上的应用 . 108 5.3.1 形如R 2 0 R(cos,sin)d的积分 . 108 5.3.2 形如R + R(x)dx的积分. 110 5.3.3 形如R + R(x)eaixdx (a 0)的积分 . 112 第六章 共形映射 118 6.1 共形映射的概念 . 118 6.1.1 映射的保角性和伸缩率不变性 119 6.1.2 解析函数导数的几何
7、意义 . 120 6.1.3 共形映射的概念. 122 6.2 分式线性映射 123 6.2.1 分式线性映射的概念 123 6.2.2 分式线性映射的性质 125 6.3 唯一确定分式线性映射的条件 . 128 6.4 几个初等函数所构成的映射 . 135 6.4.1 幂函数w = zn( n 2为自然数) 135 6.4.2 指数函数w = ez 139 第七章 Fourier变换 143 7.1 Fourier积分 143 7.1.1 周期函数的Fourier级数 143 7.1.2 非周期函数的Fourier积分公式 144 7.2 Fourier变换 146 7.2.1 Fourie
8、r变换的概念 146 7.2.2 单位脉冲函数及其Fourier变换 150 7.2.2.1 单位脉冲函数的概念 . 150 7.2.2.2 单位脉冲函数的性质 . 152 7.2.3 非周期函数的频谱 155 7.3 Fourier变换的性质 . 158 7.3.1 线性性质 158 7.3.2 位移性质 158 7.3.3 微分性质 159 7.3.4 积分性质 160 - IV - 复变函数与积分变换教案目录 第八章 Laplace变换 . 162 8.1 Laplace变换的概念. 162 8.1.1 问题的提出及Laplace变换的定义 162 8.1.2 Laplace变换的存在定
9、理 . 163 8.1.3 周期函数的Laplace变换 . 165 8.1.4 单位脉冲函数(t)的Laplace变换. 165 8.2 Laplace变换的性质. 166 8.2.1 线性性质 167 8.2.2 微分性质 167 8.2.3 积分性质 169 8.2.4 位移性质 170 8.2.5 延迟性质 171 8.3 Laplace逆变换 171 8.3.1 Laplace反演公式 171 8.3.2 Laplace逆变换的求法 172 8.4 卷积 . 174 8.4.1 卷积的概念 174 8.4.2 卷积定理 175 8.5 Laplace变换的应用. 176 - V -
10、复变函数与积分变换教案第一章复数与复变函数 第一章复数与复变函数 1.1 复数及其代数运算 1.1.1 复数的概念 规定数i满足i2= 1, 称为虚数单位. 对于任意二实数x,y, 称z = x+iy或z = x + yi为复数, 其中x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x = Re(z),y = Im(z). 当x = 0,y 6= 0时, z = iy称为纯虚数; 当y = 0时, z = x + 0i, 我们把它看作是实 数x. 注记: 1) 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等; 2) 一个复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0; 3) 一般来说, 任意两个复数不能比较
11、大小. 1.1.2 复数的代数运算 1.1.2.1 复数的四则运算 对任意两个复数z1= x1+ iy1,z2= x2+ iy2, 定义如下四则运算. (1) 加、减法运算 (x1+ iy1) (x2+ iy2) = (x1 x2) + i(y1 y2),(1.1.1) (2) 乘法运算 (x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2 y1y2) + i(x2y1+ x1y2).(1.1.2) (3) 除法运算 当z26= 0时, 称满足z2z = z1的复数z = x + iy为z1除以z2的商, 记作z = z1 z2. 从 - 1 - 湖北汽车工业学院理学系胡政发 这个定义立即可推
12、得 z = z1 z2 = x1x2+ y1y2 x2 2+ y22 + ix2y1 x1y2 x2 2+ y22 .(1.1.3) 注记: 容易证明, 当z是实数时, 上面定义的四则运算就是实数的四则运算. (4) 复数四则运算的运算律 交换律:z1+ z2= z2+ z1,z1z2= z2z1; 结合律:z1+ (z2+ z3) = (z1+ z2) + z3; 分配律:z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3. 1.1.2.2 共轭复数 (1) 共轭复数的概念 我们把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数, 与z共轭的复数记作z. 即: 如果z = x + iy,
13、那末z = x iy. (2) 共轭复数的性质 i) z1 z2= z1 z2,z1z2= z1z2, z1 z2 = z1 z2; ii) z = z; iii) zz = Re(z)2+ Im(z)2; iv) z + z = 2Re(z),z z = 2iIm(z). 注记: 在计算z1 z2时, 可以利用共轭复数的性质iii)把分子与分母同乘以z2, 即 得商(1.1.3)式. 例 1 设z1= 5 5i,z2= 3 + 4i, 求z1 z2与 z1 z2 . 解 分母实数化易得 z1 z1 = 5 5i 3 + 4i = (5 5i)(3 4i) (3 + 4i)(3 4i) = (
14、15 20) + (15 20)i 25 = 7 5 1 5i. 所以 z1 z2 = 7 5 + 1 5i. - 2 - 复变函数与积分变换教案第一章复数与复变函数 例 2 设 z = 1 i 3i 1 i, 求Re(z),Im(z)与zz. 解 分母实数化并化简得 z = 1 i 3i 1 i = i i(i) 3i(1 + i) (1 i)(1 + i) = i (3 2 + 3 2i) = 3 2 1 2i, 所以 Re(z) = 3 2,Im(z) = 1 2, zz = ( 3 2) 2 + (1 2) 2 = 5 2. 例 3 设z1= x1+ iy1,z2= x2+ iy2为两
15、个任意复数, 证明z1z2+ z1z2= 2Re(z1z2). 证明 根据复数运算的定义直接计算 z1z2+ z1z2=(x1+ iy1)(x2 iy2) + (x1 iy1)(x2+ iy2) =(x1x2+ y1y2) + i(x2y1 x1y2) +(x1x2+ y1y2) + i(x1y2 x2y1) =2(x1x2+ y1y2) = 2Re(z1z2). 或 z1z2+ z1z2= z1z2+ z1z2= 2Re(z1z2). 1.2 复数的几何表示 1.2.1 复平面 1.2.1.1 复平面及复数的点表示 由于一个复数z = x + iy由它的实部和虚部唯一确定, 复数与实数序 对
16、(x,y)一一对应, 所以对于平面上给定的直角坐标系, 复数集合与该平面上点的 集合一一对应, 所以复数z = x+iy可以用该平面上坐标为(x,y)的点来表示, 这是 - 3 - 湖北汽车工业学院理学系胡政发 x zxiy=+ x y P y o |zr= 图 1.1 复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称 为复平面或z平面. 1.2.1.2 复数的向量表示 在复平面上, 复数z还与从原点指向点z = x + iy的平面向量一一对应, 因此 复数z也能用向量 OP来表示(图1.1). (1)复数的模 向量的长度称为z的模或绝对值. 记作 |z| = r = p x2+ y2.(1.2.1) 显然, 复数的模具有性质: |x| |z|,|y| |z|, |z| |x| + |y|, zz = |z|2= |z2|. (2)
