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1、高等数学方明亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解 习题9.11 计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是圆中到之间的一段劣弧；解: 的参数方程为：，于是 （2），其中是顶点为及所成三角形的边界；解: 是分段光滑的闭曲线，如图92所示，根据积分的可加性，则有 ，由于:，于是，故 ，而,，于是故 ，同理可知（），则 综上所述 （3），其中为圆周；解 直接化为定积分的参数方程为,（）,且 于是 （4），其中为折线段，这里，；解 如图所示， 线段的参数方程为 ，则，故 线段的参数方程为，则 故 ，线段的参数方程为，则，故所以 （5），为球面与平面的交线。解 先将曲线用参数方程表示，由于是球面与经过球心
2、的平面的交线，如图所示，因此是空间一个半径为的圆周，它在平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去而得到，即以代入有，将其化为参数方程，令，即 ， ，即有，代入（或中）得，从而的参数方程为 ，则 ,所以 2 设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量解 依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中则的参数方程为 ，故 ， 所以3 求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。解 设曲线在坐标平面内的弧段分别为、，曲线的重心坐标为，则曲线的质量为由对称性可得重心坐标 故所求重心坐标为 习题9.21 设为面内一直线（为常数），证明。证明：设是直线上从点到点的一段，其参数方
3、程可视为，（），于是。2 计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中为抛物线上从点到点的一段弧。解 将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到。因此。（2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧；解 的方程为，则有的方程为，则 所以 （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧；解 利用曲线的参数方程计算的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0则 =（4），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径；解 利用曲线的参数方程计算的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取，则 。（5），其中为从点到点的直线段；解 直线的方程为化成参数方程得，从变到。所以 。（
4、6），为椭圆周且从轴正方向看去，取顺时针方向。解 的参数方程为，从变到， 。 3 设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。 解 因为力 所以。 习题9.31. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；）解 。(2) 圆，（）； 解 设圆的参数方程为,从变到.那么 。（3）双纽线，（）。解 把双纽线的参数方程代入到公式即可求得所要求的面积。2 利用格林公式计算下列曲线积分:(1) ，其中是圆，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线所围成闭区域为，这里，由格林公式，得 。(2) ，其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。解 令，则，且线段，由
5、1变化到-1，故有 其中为所围成的闭区域(3) ，其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧；解 如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为 ，从变到。则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令，由格林公式，得 。而 ，故 。(4) ，其中为椭圆，取逆时针方向；解 令，则当时，但积分曲线所围区域包含点，在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:，使位于的内部，如图右所示的参数方程为，取逆时针方向于是 ， 其中表示的负方向由格林公式则有 ，其中为与所围成的闭区域故 (5) ，其中，为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数。解 由于，其中是在曲线上
6、点处的切线的方向角，故根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有 因为为圆周，所以所围成的圆的面积，因此 。3 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值: (1) ；解 令，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。(2) ；解 令，则在整个面内恒成立，因此，在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。（3），其中和为连续函数。解 令，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。4 验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这
7、样的一个：（1）；解 令， 原式在全平面上为某一函数的全微分，取，=（2）；解 因为，所以在整个面内恒成立，因此，：在整个面内，是某一函数的全微分，即有。于是就有 （4） （5）由（4）式得 （6）将（6）式代入（5）式，得 （7）比较（7）式两边，得 于是 （其中是任意常数）代入（6）式便得所求的函数为 。（3）。解 令，则在全平面上有，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，是全微分 下面用三种方法来求原函数：解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图910所示，可取定点，动点与，于是原函数为取路径: ，得 解法2 从定义出发，设原函数为，则有，两边对积分（此时看作参数），得 （*）待定
8、函数作为对积分时的任意常数，上式两边对求偏导，又，于是，即 ，从而 （为任意常数），代入（*）式，得原函数5 可微函数应满足什么条件时，曲线积分与路径无关？解 令，则，。当，即或在整个面内恒成立时，曲线积分在整个面内与路径无关。 习题9.41 当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?答 当为面内的一个闭区域时，在面上的投影就是，于是有 。2 计算曲面积分，其中是（1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；解 锥面与平面的交线为，即锥面在面上的投影区域为圆域。而，因此 。（2）面上的直线段 绕轴旋转一周所得到的旋转曲面。解 旋转曲面为，故 ，所以，其中是在坐标面上的投影区域，利用极
9、坐标计算此二重积分，于是 。3 计算下列曲面积分:(1) ，其中是抛物面在面上方的部分：,；解 抛物面在面上方的部分在面上的投影为圆域,故 .(2) ，其中是上半球面,；解 上半球面在面上的投影为圆域, ,故 .（3），其中为平面在第一卦限的部分；解 将曲面的方程改写为，则,，从而，图912在上的投影区域为,故 （4），其中是柱面被平面所截得的部分.解 将曲面分成丙个曲面:和，在面上的投影区域都为,先算.由于,，从而，.同理可求得.所以 .4 求抛物面壳（）的质量，此壳的密度为。 解 在抛物面壳（）上取一小块微小曲面,其质量整个抛物面壳的质量为.在面上的投影为圆域,故 . 习题9.51当为面内
10、的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?答 当为面内的一个闭区域时, 的方程为。若在面上的投影区域为，那么，当取上侧时，上式右端取正号; 当取下侧时，上式右端取负号。2 计算下列对坐标的曲面积分:(1) ，其中是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；解 把分成下面六个部分:的上侧； 的下侧； 的前侧； 的后侧； 的右侧；的左侧. 因为除处,其余四片曲面在面上的投影都为零,故有；同理可得；.于是所求的曲面积分为.（2），其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧。解 由两类曲面积分之间的联系，可得，在曲面上，有。故。再依对坐标的曲面积分的计算方法，得。注意到，故。（3），其中为，的上侧；解 在面上的投影为半圆域，= =由对称性 =，= 原式=（4），其中是由平面，所围成的四面体的表面的外侧。解 如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以取下侧，取后侧，取左侧，取上侧。于是 由于，和都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故。3 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，这里为平面在第一卦限的部分的上侧。解 平面的上侧的法向量为，其方向余弦是于是 习题9.61 利用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中为柱面及平面及所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。（高等数学P170
