《高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件 理（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,9.9 圆锥曲线的综合问题,课时3 定点、定值、探索性问题,内容索引,题型一 定点问题,题型二 定值问题,题型三 探索性问题,思想方法 感悟提高,思想与方法系列,练出高分,题型一 定点问题,(1)求椭圆的标准方程；,解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2， 又a2b2c2，所以a23.,题型一 定点问题,解析答案,(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.,解析答案,思维升华,解 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设l方程为xt(ym)，,123，y1y2m(y1y2)0， ,解析答案,思维升华,由题意知4m2
2、t44(t23)(t2m23)0， ,代入得t2m232m2t20， (mt)21， 由题意mt0，mt1，满足， 得l方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点.,思维升华,思维升华,圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,(1)求椭圆E的方程；,跟踪训练1,解析答案,解析答案,返回,即QCQD， 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0). 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，,解 当直线
3、l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，,解析答案,解得y01或y02， 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点坐标只可能为(0,2)，,当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立， 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,解析答案,其判别式(4k)28(2k21)0，,易知，点B关于y轴对称的点B的坐标为(x2，y2)，,解析答案,返回,题型二 定值问题,(1)求双曲线C的方程；,题型二 定值问题,解析答案,解 设F(c,0)，因为b1，,解析答案,解析答案,思维升华,因为直线AF的方程为x2，,解析答案,思维升
4、华,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,(1)求动点Q的轨迹C的方程；,跟踪训练2,解析答案,解 依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP， RQ是线段FP的垂直平分线. 点Q在线段FP的垂直平分线上， PQQF， 又PQ是点Q到直线l的距离， 故动点Q的轨迹
5、是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0).,(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由.,解 弦长TS为定值.理由如下： 取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，,解析答案,返回,题型三 探索性问题,例3 (2015湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连结，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点
6、，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.,题型三 探索性问题,(1) 求曲线C的方程；,解析答案,解 设点D(t,0)(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，,由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，,解析答案,(2) 设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.,解析答案,思维升华,解 当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，,解析答案,思维升华,可得(14k2)x28kmx4m2160. 因为直线l总与椭圆C有且只有一
7、个公共点， 所以64k2m24(14k2)(4m216)0， 即m216k24.(*1),解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,当且仅当k0时取等号. 所以当k0时，SOPQ的最小值为8. 综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.,思维升华,思维升华,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方
8、法.,解 抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点，即a2.,跟踪训练3,解析答案,解析答案,返回,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,P(x1x2，y1y2)，,解析答案,得(4k23)x28kmx4m2120.,设T(t,0)，Q(4，m4k)，,解析答案,4k234m2，,解析答案,则1t0，t1，,返回,思想与方法系列,思想与方法系列,21.设而不求，整体代换,解析答案,规范解答 解 由于c2a2b2，,(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；,解析答案,解 设P(x0，y0) (y00)，,
9、PF1,PF2,解析答案,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,解 设P(x0，y0) (y00)， 则直线l的方程为yy0k(xx0).,解析答案,温馨提醒,温馨提醒,温馨提醒,返回,对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.,思想方法 感悟提高,1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (
10、1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.,方法与技巧,1.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况. 2.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部. 3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.,失误与防范,返回,练出高分,又a2b2c2，所以b212，,1,2,3,4,5,解析答案,(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在
11、，请说明理由.,1,2,3,4,5,解析答案,解 假设存在符合题意的直线l，,1,2,3,4,5,解析答案,因为直线l与椭圆C有公共点， 所以(3t)243(t212)0，,1,2,3,4,5,解析答案,所以不存在符合题意的直线l.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解 由已知，点C、D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，,1,2,3,4,5,解析答案,解 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,1,2,3,4,5,解析答案,其判别式(4k)28(2k21)0，,x1x2y1y2x1x2(y1
12、1)(y21) (1)(1k2)x1x2k(x1x2)1,1,2,3,4,5,解析答案,当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,(2)过点 的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,解析答案,当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.,1,2,3,4,5,解析答案,故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). 下面证明Q(0,1)为所求： 若直线l的斜率不存在，上述已经证明.,A(x1，y
13、1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,144k264(918k2)0，,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.,1,2,3,4,5,解析答案,证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.,1,2,3,4,5,解析答案,当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为ykxm，,1,2,3,4,5,解析答案,因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以O
14、AOB.,所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20.,1,2,3,4,5,解析答案,整理得5m24(k21)，,1,2,3,4,5,解 因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，,1,2,3,4,5,解析答案,(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,解析答案,返回,设直线l与x轴相交于点C. 当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点， 则OCa，AB4a.,1,2,3,4,5,解
15、析答案,又因为OAB的面积为8，,若存在满足条件的双曲线E，,1,2,3,4,5,解析答案,设直线l的方程为ykxm，依题意，,记A(x1，y1)，B(x2，y2).,1,2,3,4,5,解析答案,因为4k20，所以m24|4k2|4(k24).,得(4k2)x22kmxm2160.,1,2,3,4,5,解析答案,所以4k2m24(4k2)(m216) 16(4k2m216). 又因为m24(k24)， 所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点.,1,2,3,4,5,解析答案,设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2).,1,2,3,4,5,解析答案,所以t24|14m2|4(14m2).,设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0).,1,2,3,4,5,解析答案,得(4m21)y28mty4(t2a2)0. 因为4m210，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当64m2t216(4m21)(t2a2)0， 即4m2a2t2a20， 即4m2a24(14m2)a
