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1、36正弦定理和余弦定理知识梳理1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则2在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)SbcsinAacsinBabsinC.(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)4在ABC中，常有的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边诊断自测1概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形()(2)在ABC中，.()(3)若a，b，c是ABC的三边，当b2c2a
2、20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形()(4)在ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则此三角形是钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P10A组T4)在ABC中，a4，b5，c6，则_.答案1解析由正弦定理得sinAsinBsinCabc456，又由余弦定理知cosA，所以21.(2)(必修A5P20A组T11)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_答案7解析因为ABC的面积SABCABACsinA，所以1058sinA，解得sinA，因为角A为锐角，所以cosA.根
3、据余弦定理，得BC25282258cosA528225849，所以BC7.3小题热身(1)(2016天津高考)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2 C3 D4答案A解析在ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c2a2b22abcosC，得139b223b，即b23b40，解得b1(负值舍去)，即AC1.故选A.(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_.答案解析由已知可得sinA，sinC，则sinBsin(AC)，再由正弦定理可得b.题型1利用正、余弦定理解三角形(2018郑州预测)在ABC中，
4、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cosB()A B. C D.边角互化法答案B解析由正弦定理知1，即tanB，由B(0，)，所以B，所以cosBcos，故选B.(2018重庆期末)在ABC中，已知AB4，AC4，B30，则ABC的面积是()A4 B8C4或8 D.注意本题的多解性答案C解析在ABC中，由余弦定理可得AC242(4)2BC224BCcos30，解得BC4或BC8.当BC4时，ACBC，BA30，ABC为等腰三角形，C120，ABC的面积为ABBCsinB444.当BC8时，ABC的面积为ABBCsinB488，故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1已知两
5、边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC能够实现边角互化见典例1.2已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形见典例2.3已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断见典例2.冲关针对训练1(2017河西五市联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ba)sinA(bc)(sinBsinC)，则角C等于()A. B. C. D.答案A解析由题意，得(ba)a
6、(bc)(bc)，aba2b2c2，cosC，C，故选A.2(2018山东师大附中模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A，c，sinAsinC.(1)求a的值；(2)若角A为锐角，求b的值及ABC的面积解(1)在ABC中，c，sinAsinC，由正弦定理，得ac3.(2)由cos2A12sin2A得，sin2A，由0A0，sinA1，A，故ABC为直角三角形故选B.条件探究1将典例条件变为“若2sinAcosBsinC”，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案B解析解法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)s
7、inAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB0)，由余弦定理可得cosC0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形故选C.条件探究3将典例条件变为“若bcosBccosCacosA”，试判断三角形的形状解由已知得bca，b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)a2(b2c2a2)(a2c2b2)(b2a2c2)0.a2c2b2或b2a2c2，即B或C.ABC为直角三角形方法技巧判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系冲关针对训练在ABC中，a，b，c分别
8、为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC，试判断ABC的形状解(1)由2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC及正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cosA，0A180，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sinBsinC，得sinBsin(120B)，sinBsin120cosBcos120sinB.sinBcosB，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，即B60.ABC60，ABC为等边三角形.题型3与三角形有关的最值角度1与三角形边
9、长有关的最值(2017杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ac的最大值本题采用转化法解(1)在ABC中，abcosCcsinB，sinAsinBcosCsinCsinB，sinAsin(BC)sinBcosCsinCsinB，化为cosBsinCsinCsinB，sinC0，可得tanB，B(0，)，B.(2)由正弦定理得2R，令yac2RsinA2RsinCsinAsinCsinAsinsin.0A，0A，A.故2A，sin，y.ac的最大值为4.角度2与三角形内角有关的最值(2017庄河市期末)在A
10、BC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设f(x)a2x2(a2b2)x4c2.(1)若f(1)0，且BC，求角C的大小；(2)若f(2)0，求角C的取值范围本题采用重要不等式法解(1)由f(1)0，得a2a2b24c20，b2c.又由正弦定理，得sinB2sinC，BC，sin2sinC，整理得sinCcosC，tanC.角C是三角形的内角，C.(2)f(2)0，4a22a22b24c20，即a2b22c20，由余弦定理，得cosC(当且仅当ab时取等号)又余弦函数在上递减，C是锐角，0C.方法技巧求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某
11、个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可冲关针对训练(2018绵阳检测)已知向量m，n，记f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围解(1)f(x)mnsincoscos2sincossin.因为f(x)1，所以sin，cos12sin2，coscos.(2)因为(2ac)cosBbcosC由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，所以2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以2sinAcosBsin(BC)，因为ABC，所以sin(BC)sinA，且sinA0，所以cosB，B，所以0A，所以，sin1.又因为f(x)mnsin，所以f(A)sin，故函数f(A)的取值范围是.1(2017
