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1、平行四边形章末小结与提升四边形平行四边形正方形类型1平行四边形的性质和判定典例1如图,已知ABDE,AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形.【解析】如图,连接AE,DB,BE,设BE交AD于点O.ABDE,AB=DE,四边形ABDE是平行四边形,OB=OE,OA=OD.AF=DC,OF=OC,四边形BCEF是平行四边形.【针对训练】1.如图,在平行四边形ABCD中,AD=7,CE平分BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为(A)A.4B.3C.52D.22.如图,P为ABCD的边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2,
2、若S=3,则S1+S2的值是12.3.在ABCD中,点E在CD边上,点F在AB边上,连接AE,CF,DF,BE,DAE=BCF.(1)如图1,求证:四边形DFBE是平行四边形;(2)如图2,设AE交DF于点G,BE交CF于点H,连接GH,若E是CD边的中点,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中以GH为边或对角线的所有平行四边形.解:(1)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADE=CBF,AD=BC,在ADE和CBF中,ADE=CBF,AD=BC,DAE=BCF,ADECBF(ASA),DE=BF,又DEBF,四边形DFBE是平行四边形.(2)以GH为边的平行四边形有GHFA、GHBF
3、、GHED、GHCE;以GH为对角线的平行四边形是GFHE.类型2三角形的中位线典例2如图,等边ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=12BC,连接CD和EF.(1)求证:DE=CF;(2)求EF的长;(3)求四边形DEFC的面积.【解析】(1)在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DE为ABC的中位线,DE=12BC,CF=12BC,DE=CF.(2)AC=BC,AD=BD,CDAB.BC=4,BD=2,CD=42-22=23.DECF,DE=CF,四边形DEFC是平行四边形,EF=CD=23.(3)过点D作DHBC于点H.DHC=90,DCB=30,D
4、H=12DC=3,DE=CF=2,S四边形DEFC=CFDH=23=23.【针对训练】1.以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为(C)A.4B.2C.14D.122.如图,D,E分别是AB,AC的中点,BE是ABC的平分线,对于下列结论:BC=2DE;DEBC;BD=DE;BEAC.其中正确的是(D)A.B.C.D.3.(曲靖中考)如图,在ABC中,AB=13,BC=12,D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果DE=2.5,那么ACD的周长是18.4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,ABD=20,BDC=70,求PMN
5、的度数.解:在四边形ABCD中,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,PN,PM分别是CDB与DAB的中位线,PM=12AB,PN=12DC,PMAB,PNDC,MPD=ABD=20,BPN=BDC=70,MPN=MPD+NPD=20+(180-70)=130,AB=CD,PM=PN,PMN=180-1302=25.类型3直角三角形斜边上的中线典例3如图,ABC中,AB=AC,D是BC上一点,DEAB于点E,FDBC于点D,G是FC的中点,连接GD.求证:GDDE.【解析】FDBC,G是FC的中点,GD是RtFCD斜边上的中线,GD=GC,GDC=C.又AB=AC,B=C,B=GDC,GDA
6、B,BED=GDE.GDE=90,GDDE.【针对训练】1.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为2.4 km,则M,C两点间的距离为(B)A.0.6 kmB.1.2 kmC.0.9 kmD.4.8 km2.如图,在三角形ABC中,AB=AC,BC=6,DEF的周长是7,AFBC于点F,BEAC于点E,且D是AB的中点,则AF的长为(A)A.7B.5C.3D.73.如图,在ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是(B)A.3B.4C.5D.6类型4特殊的平行四边形的性质和判定典例4如图,在四边形ABCD中
7、,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若ADB=30,BC=1,求AC的长.【解析】(1)AD=2BC,E为AD的中点,DE=BC.ADBC,四边形BCDE是平行四边形,ABD=90,AE=DE,BE=DE,平行四边形BCDE是菱形.(2)连接AC.ADB=30,ABD=90,AD=2AB,AD=2BC,AB=BC,BAC=BCA.ADBC,DAC=BCA,CAB=CAD=30,AB=BC=DC=1,AD=2BC=2.DAC=30,ADC=60,在RtACD中,AC=AD2-CD2=3.【针对训练】
8、1.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为(D)A.3-1B.3-5C.5+1D.5-12.如图,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PEAB于点E,PFAC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为65.3.如图,四边形ABCD是菱形,CEAB交AB延长线于点E,CFAD交AD延长线于点F,请猜想CE和CF的大小有什么关系?并证明你的猜想.解:CE=CF.四边形ABCD是菱形,ADBC,ABCD,CD=BC,A=CBE,A=FDC,CBE=FDC.CFAD,CEAB,
9、CEB=CFD=90,在CDF和CBE中,CDF=CBE,CFD=CEB,CD=CB,CDFCBE(AAS),CE=CF.4.定义:若P为四边形ABCD内一点,且满足APB+CPD=180,则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”.(1)如图1,点P为四边形ABCD的一个“互补点”,APD=63,求BPC的度数.(2)如图2,点P是菱形ABCD对角线上的任意一点.求证:点P为菱形ABCD的一个“互补点”.解:(1)由题可知BPC=180-APD=180-63=117.(2)连接AP,CP.四边形ABCD是菱形,AD=CD,ADP=CDP.在ADP与CDP中,AD=CD,ADP=CDP,PD=PD,ADPCDP(SAS),APD=CPD.又APB+APD=180,APB+CPD=180,点P为菱形ABCD的一个“互补点”.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
