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1、西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 1 概率论概率论与与数理统计数理统计 B 习题习题三三答案答案 A 1. 二维随机变量),(YX只能取下列数组中的值： （0，0） ， （-1，1） ， 1 1, 3 ， （2，0） ， 且取这些组值的概率依次为 12 5 , 12 1 , 3 1 , 6 1 .求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关 于Y的边缘分布律。 解：由题意可得YX,的联合分布律为 XY 0 3 1 1 -1 0 12 1 3 1 0 6 1 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1，2，2，3.从这
2、袋中任取一球后，不放回袋 中， 再从袋中任取一球.设每次取球时， 袋中每个球被取到的可能性相同.以YX,分别记第一、 二次取得的球上标有的数字，求),(YX的分布律及)(YXP。 解：X 可能的取值为3 , 2 , 1，Y 可能的取值为3 , 2 , 1，相应的，其概率为 1 211 11 1,10,1,2,1,3, 4 364 312 2 112 112 11 2,1,2,2,2,3, 4 364 364 36 11 21 3,1,3,2,3,30 124 36 P XYP XYP XY P XYP XYP XY P XYP XYP XY 或写成 XY 1 2 3 1 0 6 1 12 1
3、2 6 1 6 1 6 1 3 12 1 6 1 0 6 1 3, 32, 21, 1YXPYXPYXPYXP。 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 2 3. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取 2 次. 定义随机变量YX,如下： 1 0 X , , 若第一次取出正品, 若第一次取出次品, 1 0 Y , , 若第二次取出正品, 若第二次取出次品,分别就 下面两种情况（1）放回抽样， （2）不放回抽样。 求： （1）二维随机变量),(YX的联合分布律； （2）关于X及关于Y的边缘分布律； （3）X与Y是否独
4、立，为什么？ 解： （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1 , 0，Y 可能取的值也为1 , 0，且 , 25 1 1010 22 1, 1, 25 4 1010 82 0, 1 , 25 4 1010 28 1, 0, 25 16 1010 88 0, 0 YXPYXP YXPYXP 或写成 XY 0 1 0 25 16 25 4 1 25 4 25 1 在无放回情形下，X、Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率与有放回 情形下不一样，具体为 , 45 1 910 12 1, 1, 45 8 910 82 0, 1 , 45 8 910 28 1, 0, 45 28 910 78
5、0, 0 YXPYXP YXPYXP 或写成 XY 0 1 0 45 28 45 8 1 45 8 45 1 （2）在有放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 在无放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 3 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 （3） 在有放回情况下， 由于 25 16 0, 0YXP，而 25 16 5 4 5 4 00YPXP， 即 000, 0YPXPYXP；容易验证
6、,101, 0YPXPYXP 111, 1,010, 1YPXPYXPYPXPYXP，由独立性定义知 X 与 Y 相互独立。 在无放回情况下，由于 45 28 0, 0YXP，而 25 16 5 4 5 4 00YPXP，易见 000, 0YPXPYXP，所以 X 与 Y 不相互独立。 4. 设二维随机变量),(YX服从在区域 D 上的均匀分布，其中区域 D 为 x 轴，y 轴及直线 y=2x+1 围成的三角形区域.求： （1）),(YX的联合密度函数； （2） 11 0,0 44 PXY ； （3）关于X及关于Y的边缘密度函数； （4）X与Y是否独立，为什么？ 解： （1）区域D 见图1：
7、易算得D 的面积为 4 1 2 1 1 2 1 S，所以YX,的密度函数 yxf, , 0 , 4 其他 Dyx, YX,的分布函数： yx dxdyyxfyxF, 当 2 1 x或0y时，0,yxF； 当120 , 0 2 1 xyx时, 2 0 2 1 244,yyxydxdyyxF yx y ； 当12, 0 2 1 xyx时，1444, 2 2 1 12 0 xxdydxyxF xx ； 当10 , 0yx时， 2 0 0 2 1 24,yydxdyyxF y y ； 当1, 0yx时， 0 2 1 12 0 14, x dydxyxF （2）X 的边缘密度函数为 dyyxfxfX,
8、y 1 -1 2 1 0 1 x 图 1 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 4 = , 0 ,4 12 0 x dy 其他 0 2 1 x = , 0 ,124x 其他 0 2 1 x Y 的边缘密度函数为 dxyxfyfY, = , 0 ,4 0 2 1y dx 其他 10 y = , 0 ,12y 其他 10 y （3）4 3 1 , 4 1 f， 而 3 4 3 1 , 2 4 1 YX ff， 易见 3 1 4 1 3 1 , 4 1 YX fff， 所以 X 与 Y 不相互独立。 5. 设随机变量X，Y是相互独立且分别具有下列分布律：
9、X -2 -1 0 0.5 概率 4 1 3 1 12 1 3 1 Y -0.5 1 3 概率 2 1 4 1 4 1 写出表示),(YX的联合分布律。 解：由于 X 与 Y 相互独立，因此 , 3 , 2 , 1, 4 , 3 , 2 , 1,jiyYPxXPyYxXP jiji 例如 8 1 2 1 4 1 5 . 025 . 0, 2YPXPYXP 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 XY -0.5 1 3 -2 8 1 16 1 16 1 -1 6 1 12 1 12 1 0 24 1 48 1 48 1 0.5 6 1 12 1 12 1 6. 设二维随机变量),(YX的联合密度函
10、数为 (34 ) e ( , ) 0 xy k f x y ,0,0,xy 其他, 求： （1） 系数 k;（2）)20 , 10(YXP;（3）证明X与Y相互独立。 解：（1）k必须满足 1,dxdyyxf， 即 1 0 43 0 dxkedy yx ， 经计算得12k； 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 5 （2） 83 2 0 1 0 43 111220 , 10 eedxedyYXP yx ； （3）关于X 的边缘密度函数： dyyxfxfX, , 0 ,12 0 43 dye yx 其他 0x = , 0 ,3 3x e 其他 0x 同
11、理可求得Y 的边缘密度函数为 yfY , 0 ,4 4y e 其他 0x 易见 yxyfxfyxf YX ,，因此X 与Y 相互独立。 7. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从0,0.2上的均匀分布，Y服从参数为 5 的指数分布，求：),(YX的联合密度函数及)(YXP。 解：由均匀分布的定义知 xfX , 0 , 5 其他 2 . 00 x 由指数分布的定义知 yfY , 0 ,5 5y e 其他 0y 因为 X 与 Y 独立，易得YX,的联合密度函数 yfxfyxf YX , , 0 ,25 5y e 其他 0, 2 . 00yx 概率 G dxdyyxfYXP,， 其中区域yxyxG|
12、,见图 2，经计算有 1 2 . 0 0 5 2 . 0 00 5 1525 edxedyedxYXP x x y 。 8. 已知二维随机变量),(YX的联合密度函数为 0 )1 ( ),( yxk yxf ,01,0,xyx 其他, ， （1）求常数k;（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数； （3）X与Y是否独立，为什么？ 解： （1）k满足 1,dxdyyxf，即 1 00 11 x ydyxkdx解得24k； （2）X的边缘密度函数 dyyxfxfX, , 0 ,124 0 dyyx x 其他 10 x y 0.2 x 图 2 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与
13、数理统计 B课程习题答案 6 = , 0 ,112 2 xx 其他 10 x Y 的边缘密度函数为 yfY , 0 ,124 1 y ydxx 其他 10 y = , 0 ,112 2 yy 其他 10 y （3） 3 1 4 1 2 1 24 4 1 , 2 1 f， 而 16 27 16 9 4 1 12, 2 3 2 1 4 1 12yfxf YX ， 易见 4 1 2 1 4 1 , 2 1 YX fff，因此X与Y不相互独立。 9. 设随机变量X与Y的联合分布律为 XY 0 1 0 25 2 b 1 a 25 3 2 25 1 25 2 且 5 3 0| 1XYP， （1）求常数ba,的值； （2）当ba,取（1）中的值时，X与Y是否独立，为 什么？ 解：（1）ba,必须满足 2 1 3 1 1 ji ij p， 即
