2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文

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1、1中国人口增长预测摘要：本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼.首先我们建立了,Malthus 微分方程,通过求借建立了我国人口增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,人口的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式.为了弥补这个模型的缺点,我们又分别建立了1L eslie 人口模型, 微分差分混和模型,神经网络模型,灰色模型,等多种模型方式. 建立 Leslie 模型来预测未来中国大陆人口增长模型。根据死亡率，生育率是否变化，我们建立了两个模型，第一个是死亡率变化的模型，在这个模

2、型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下一年的数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。于是，在分析了死亡率和生育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更大众化。最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令人满意，误差很小。但对于长期的预测准确度有所下降。通过对第一个模型Leslie 人口模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义 13 年为短期，510 年为中期，10 年以上是长期）的预测人口数量在各个年龄段的分布。再对预测数据进行分析，并结合中国的实际国情，很容易知道 Leslie 人口模型增长只能用来预测中短期的

3、人口发展规律（对与中国的实际国情而言） 。于是为了预测探究长期的人口发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别人的资料，然后我们又建立了一个有关人口数量的微分方程，这个微分方程包括了 各方面影响人口增长和变化的因素，如，育龄女性的百分比，潜在育龄女性的百分比，人口老龄百分比等等。这些因素的介入使得分析人口变化规律更接近实际的情况。随后又建立了另外的模型,多种模型相互结合,是本文的一大特色.关键字：Malthus 模型 灰色模型 Leslie 人口模型 神经网络2一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一

4、个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录 1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二、问题分析对人口的预测主要考虑三方面

5、人口的来源：1.上一年留下的人口数-由前一年人口总数减掉死亡人数2.新生儿数-由当年育龄妇女数和生育率决定3.流动口数-考虑往年的人口流动量对数据进行数据拟合，其中预期的数值就是预算那部分的和。从而得出数据的模型，建立好成熟模型后，就可以对以后进行预测求解。三 模型假设1 中国大陆人口看作一封闭系统,没有迁入与迁出2 同一年龄组内是无区别的3 在 时刻人口分布情况是已知的0t4 无重大自然灾害和重大疾病的发生四、符号说明第 年年龄为 的总人数；()nAii第 年年龄为 的妇女的生育率，即为第 年年龄为 的妇女所生的小孩数bn ni与年龄为 的妇女的总数之比；i第 年年龄为 的妇女的死亡率；()

6、ndi第 年年龄为 的女性占同龄总人数的比例；t 年 15-49 岁的女性人口总数；It 年 0-15 岁女性人口总数；)(Rt 年各年龄段的男性与 50-90+岁女性人口总数之和；Nt 年各年龄段人口总数； I315-49 岁中年龄为 的女性人口总数；)(iAit 年 15-49 岁女性死亡率；人口年死亡率；五、建模过程模型建立初期不考虑其他因素干扰，建立简单模型，在分析和建立模型的过程中进一步优化，建立过程如下：模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯 Malthus，1766-1834）1) 模型假设1以 P(t)表示时刻 t 某地区的人口数，设人口数 P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且

7、 P(t)关于 t 连续可微。 2时刻 t 人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数 r。2) 模型建立及求解据模型假设，在 t 到 t时间内人口数的增长量为 tPrtP)()(，两端除以 t，得到 tt,即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比。令 0t，就可以写出下面的微分方程： Prdt，如果设 时刻的人口数为 ，则 满足初值问题：0t0p()0)(Ptr（1）下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得 dtr，两端积分，并结合初值条件得显然，当 0r时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus 模型）

8、。如下图 1 所示。3) 模型检验与分析注意到 ，而我国资源是有限的，考虑到现实生活中主客0()lim()lirtttPe观因素的影响，不可能是人口无限增长，故指数增长模型（Malthus 模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。4 4) 模型讨论做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的。1我们把人口数仅仅看成是时间 t的函数 )(tp，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。2假定 )(tp是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。3模型所描述的人群应该是在一定的空间范围

9、内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以该模型不能用于预测未来人口。模型二：改进的 leslie 模型考虑到我国目移民现象很少见，所以认为中国人口是一个封闭系统。在这种假设下，下一年人口的数量取决于本年个年龄人口的生育率、死亡率、人口总数和男女比例。具体函数关系如下： 01()()0() 1;)nnknbAkiAidi N用矩阵形式可表示为： ，其中1(,2.)nL(0)()10101()n nnnbbiddLdi (0)1()nnAi根据具体情况，比如采集到的数据是按年龄段统计得死亡率、生育率、总人口数及男女比例，我们就

10、不能再按年龄来预测了，此时可以按年龄段来预测。这是一个可按分组的数据来预测下一个时刻情况的模型。针对本次竞赛所给数据是按年龄统计到 90 岁（90 岁和 90 岁以上的人归为同一组） ，故我们可将上述矩阵写为 92 行 91 列的矩阵，如下5(0)(1)(89)(90)1001(89)0nnnnnbbbdLdd ()1()0TnnnAAi ，1 111()()TnnA 此时， ，即()()nniLi901kkb0()(1)(1,29)nnnAidiAi在第 年此模型死亡率、生育率、总人口数及男女比例已知时，我们就能够预测出第个年龄的人口数，当然经过简单处理之后，还可得各年龄段的人口总数。1通过

11、作个年龄段的死亡率的散点图发现，各年龄段死亡率基本稳定在一个常数值附近（图 2） ，并且在近些年不会发生重大的医学进步，所以我们可以假设死亡率为一个常数，并且在计算过程中用 2001-2005 的平均死亡率代替它。通过 2001-2005 生育率的散点图（图 1）可以发现 2003 年的生育率情况偏离其他年份的情况，而其他几年的情况图像形状相似，因此剔除 03 年的数据，用剩余四年的平均出生率作为生育率的估计值，即也假设出生率为一常数。通过统计数据发现出生性别基本稳定在 1.06 附近，所以也假定生育率为常数。在这些假设下即可对我国人口数量进行预测。利用 2001 年的各年龄段的人口数量为基,

12、做各年份预测,误差图见附录；所以可以得出对 5 岁到 75岁之间的预测准确度是很高的。在此基础上通过拟合用 2001 的数据用此模型预测2002-2005 的人口情况，发现拟合很好（见附录 图 1） ，这说明此模型可进行短期和中长期预测并且效果令人满意。在附录中给出了对 2008 年各年龄段人数的预测。同时也给出了长期预测(对 2040 年的预测)。但是对于长期预测此模型效果不太理想(见附录（图 2）)。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100020406080100120140160180 2002出出出出（图 1）2001-2005 年各年龄段生育率比较 60 10

13、 20 30 40 50 60 70 80 90 100051015202530（图 2） 2001-2005 个年龄段死亡率比较此时， ，这里1()(1)nnAiLi0(1)()00)01()nnnnnbbiibidddi ()1()TnnnAAim 即 10mnnnkbk()(1)(1,2)nidii通过矩阵乘法可得0knAL,im由上述公式，可以预测第 年的人口数量。优点：此模型的优点是在满足假设的前提下能够非常准确的预测出下一年的人口数。缺点：过分依赖于前一年的死亡率、生育率、总人口数及男女比例，只有这些参数已知时，才能预测此下一年，并只能预测一年。模型三：微分差分混和模型考虑到中国迁

14、入迁出人口所占总人口数比例较小，故假设中国人口为一封闭系统，于是基于微分差分的思想，建立微分差分混合模型。7 0000 )(,)(,)(,)(1)()()()()( NINRIIttt tIIdNtttINIR参数的求解公式：)()49tIkA )(15(tRIkA方程 1：中国人口组成的刻画；方程 2：育龄女性数目的变化趋势；方程 3：中国总人口的变化趋势；方程 4：育龄女性人口数的变化方程 5：给个变量赋予初值利用 2001 年的数据可解得参数如下： ， ， ， ，0.160.19740.9710.593420.1837上述模型中个变量的解析解悟求得，但是数值解可以应用龙格-库塔法，进行编

15、程求得近似值。优点：该模型全面考虑了各种因素对人口总数等的影响，计算结果应该比较贴近实际情况缺点：较难以计算出连续数值模型四：神经网络模型人脑神经网络模型能模拟人脑神经组织的运行机制，因此具有较强的信息处理能力，对复杂问题具有自适应和自学习的能力，可以很好的协调多种输入信息的关系。神经网络因其自身的自适应，自学习性，高效性，具有可逼近任意非线性系统的能力而成为系统辩识及预测的有力工具。我们将中国人口的变化看作一非线性的输入输出系统：；()(1),(),(1,()yuytfttnuttn 其中 为影响整个系统的控制因素， 为系统前 次输出对系统新u 1,()yytn yn的输出的反馈影响。我们采用并联识别模型的离散时间的动态神经网络来识别此非线性系统，并做出相应的预测：网络的设计： 我们借助多层前向BP 网络（Back-Propagation Network）令 ；将 经过 i 步时延反馈到网()yt,NA(1),yt (),(1,()yutnuttn ()yt络的输入端,对网络的权值、阈值不断修改，进行自适应训练，以跟踪网络输入样本值的变化，达到对未来值的预测。