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1、1,非惯性坐标系中的静止液体 流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的,在非惯性坐标系中,流体处于相对静止状态,则其表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质,因此,基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐标系中,流体处于静止状态,其所受的力还应包括惯性力,即基本方程中的质量力应为重力和惯性力两部分之和。,2,直线等加速运动容器中的静止液体 如图,一个盛有液体的容器相对于地面作直 线匀加速运动,,其加速度 为:,如果将非惯性坐标系固定在容器上,则根据达朗贝尔原理,该非惯性坐标系中的流体将受到惯性力的作用,且单位质量流体受到的惯性力为 -a。,3,将上式代入基本方程得:,于是容器中单位质量流体的质
2、量力就由惯性力和重力两部分组成:,其直角坐标系下的分量式为:,4,5,6,7,adx=-gdz 积分得 z =-ax/g+c 自由液面通过原点,则c=0,则自由液面方程 为:,说明自由液面是斜率为-a/g的倾斜平面。,此外,槽车内液体的压力分布为:,8,改写成:,此式表明,在非惯性坐标系中,静止液体中压力同样只是液体深度的函数。,9,等压面方程,边界条件,压强分布方程,1.平面上的等加速运动(非惯性/动坐标系),自由液面方程,图2-12(a),10,2.容器沿斜面的等加速运动,质量力分量,全微分方程,压强分布方程,等压面方程,11,例1 一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶,静止时,
3、B点处水深1m,距o点水平距1.5m,求运动时B点的水静压强。,解:,a=0.98m/s2,x=1.5m,z=1m,代入,注意坐标的正负号,a,o,B,z,x,例3图,12,例2: 一加满水的柱体直径为30cm,60cm高,问逐渐加上多少加速度会溢出1/4的水量?1/2的水量?全部的水量?,13,解:若溢出1/4水量,则=45如图: 那么 ax=gtan45=g=9.81m/s2,1,60cm,30cm,水量,若溢出1/2的水量,则 tan=ax/g=60/30=2 即ax=2g 水全部溢出实际上是不可能实现的。,1/2水量,2,14,如图,是一个旋转容器,容器半径为R。静止状态时,装有深度为
4、H的液体。 当容器以角速度做等速旋转时,液体除受到重力作用外还要受到离心惯性力的作用。 则单位质量流体的重力分量为,等角速度旋转容器内液体的相对平衡,15,由达郎贝尔原理,单位质量流体受到的惯性力为-a,大小为r2,其分量为,于是,容器中液体所受的单位质量力为:,fx=2rcos =2 x fy= 2rsin =2 y fz=-g,16,将质量力代入全微分公式有:,dp= (2 xdx+2 ydy -gdz),由于等压面上dp=0,则等压面方程: 2 xdx+2 ydy -gdz=0 积分:,17,压强分布为:,18,高速回转圆筒内的流体压力分布 如离心机转鼓,转速少则几百转,多则数万转。那么
5、这种情况下,液体内部的压力分布及自由面是什么样呢?,19,高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。此时,压力全微分公式-gdz项可以忽略,即 dp= (2 xdx+ 2 ydy-gdz) 可简化为: dp=2(xdx+ydy) 而等压液面方程则近似为: 2 r 2/ 2=C 近似为圆柱面,令自由液面的圆柱面半径为r0。,20,21,积分:,整理后:,该式为离心机设计和操作分析中经常用到的压力分布关系式。,22,例:有一容器绕o-o轴匀速旋转,n=60000rpm,已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,静止时水面高度h=900mm。试求:r=30mm处的压强。,23,解:在高速
6、旋转时,容器内液体将形成圆柱环,设内环半径为r1,则,24,25,例:图示为盛满液体的容器顶盖中心处开口,当容器以等角速度绕垂直轴z旋转时,液体借离心力向外甩,但是受顶盖限制,液面不能形成抛物面。试分析液体内的压力分布。,26,液体内各点的压强分布符合下式,即,常数C,可利用r=0,z=0,p=pa确定,即C=pa。故,27,故作用于顶盖上(z=0)各点的压力仍按抛物面分布,如图箭头所示,边缘B处,边缘B处(r=R,z=0) 压力最大为(表压):,28,29,例.盛满液体的容器顶盖边缘处开 口,当其旋转时,液体借离心惯性力而向外甩,但当液体刚要甩出容器时,在容器内部即产生真空,紧紧吸住液体,以
7、致液体跑不出去。试分析液体内的压强分布及o点处的真空度。,30,利用r=R,z=0时 p=pa,以确定常数C, 即,流体内各点的压强分布符合下式,即,31,z=0, r=0 处真空度为,32,33,在生产实际中,可根据旋转容器中液面高度的变化来测定旋转角速度。因为旋转前后容器内液体体积不会改变。旋转后中间出现一个被旋转抛物面,包围的空腔,当空腔的底面半径为R,即与容器半径相当时,有,34,化简后可得:,根据自由表面方程:,(1),(2),由(1)、(2)两式得,35,例题1: d=300mm, H=500mm敞口圆柱形容器中,注水高度为h1=300mm,容器绕轴作等角速度旋转。 1.确定使水的自由界面正好达到容器边缘时的转数n1; 2.求抛物面顶端碰到容器底时的转数n2,此时容器停止旋转后,水面高度h2将为多少?,36,解:1.根据 可得H0=2h1-H=2300-500 =100mm 此时角速度为,37,2.(方法一)当抛物面顶端碰到容器底时,将会有一部分水被抛离容器。根据自由表面方程,有,38,带入数据后得:V=0.01766m3,则水面高度为:,39,方法二,