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1、讲 授 内 容备 注第十三讲四、关于界的估计下面的例题，关键是寻找，以及之间的关系式例7设在上有二阶导数，时，试证：当时，证，有 两式相减例8 设在上有二阶连续导数，且满足及，试证：对一切，有证，有 (1) (2)(1)(2)：例9设在上二次可微， 试证： ，且 证，有 介于之间 介于之间两式相减 所以 即 对一切成立上式为关于的二次三项式，由判别式对一切成立即例10设在上有三阶导数，并且，在上有界证明：，也在上有界证，有其中介于之间取时， (1) (2)(1)(2)：令，则 (1)+(2)：则 故，在上有界五、求无穷远处的极限例11 设在上二次连续可微如果存在，且在上有界试证：证由Taylo
2、r公式，有(1)因为有界，所以，使得由(1)知，先取充分小，使得，然后将固定设，则，当时，从而当时，即例12 设至少有阶导数，且对某个实数，有，(1)试证： 证据已知条件(1)，要证明，只要把写成与的线性组合即可应用Taylor公式(2 )其中这是关于，为未知数的线性方程组，其系数行列式故方程组(2 )有非零解其中为常数，至此只需证明事实上，设，于是令，则 则有 同理，令，则 则有 于是六、中值点的极限例13 设(1)在内是阶连续可微函数(2)当时，有，但(3)当时，有(1)其中证明： 证将，在处按Taylor公式展开由条件(2)代入(1)式，得即解得因为，利用的连续性，可得 例14 设， 且
3、证明：证 由题设， 由Taylor公式有即令得，即七、函数方程中的应用例15设在内有连续的三阶导数，且满足方程 (1)，与无关试证：是一次或二次函数证 问题在于证明或将(1)式两边关于求导数(2)从而有令得，若，则，为一次函数若，由(2)得上式两边再对求导数令得，故，为二次函数例16已知函数在区间内有二阶导数，且，试证：，使得在内，证将，在处按Taylor公式展开又因为 介于之间 介于之间从而令，则在上连续，使得只要证明即可事实上即所以，在上，34 不等式与凸函数一、不等式1、利用单调性证明不等式若（或），则当时，（或）若（或），则当时，（或）例1 证明：证 设，则，由三角不等式 ，知2、利用微分中值定理证明不等式若在上连续，在内可导，则，使得故当，在内时，有，例2 证明： 证令，则时，不等式变形 令 ， 则只须证 ，所以即，3、利用Taylor公式证明不等式若在上有连续的阶导数，且， ，有，例3 求证：，证原不等式等价于 ， ， ， 故 ，3学时Vandermonde 行列式11
