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1、对数 对数函数【重点难点解析】1本单元的知识结构2理解对数定义、掌握对数运算性质，理解对数函数的性质与范围要求，能熟练地进行指数式与对数式互化3对数性质的应用、对数函数性质的应用，以及在应用这些性质时能恰当地把握范围要求对问题进行分类讨论4有了换底公式，我们才能处理不同底的对数问题，所以它也是重点！【考点】1对数概念的范围要求严格，再配合对数函数的单调性，可以全面考查学生的分析思维能力与逻辑思维能力，这是常考的内容2对数及对数函数与其他数学基础知识综合，可以构造种种不同难度的数学问题，来检验学生应用所学数学知识的能力和学生的数学水平，可以说以往各年的高考试题中，每年都有考查对数知识的题目【典型
2、热点考题】例1 求下列各式中的x的值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路分析所求的x或是指数，或是指数的一部分，只有应用对数概念处理，才能求出x所以这个问题的本质是“将指数式化为对数式”，今后遇到难以处理的指数问题时，可以化为对数式处理解：(1)解法一：原式化为x1解法二：(2)x3(3)(4)即2x3(5)2x10，例2 有下列5个等式，其中a0且a1，将其中正确等式的代号写在横线上_思路分析死记硬背对数运算性质，不易记住而且往往容易记错，这是对数运算中常出的问题只有对对数概念深刻理解，在此基础上才能更牢固准确地掌握对数运算性质人类创造对数运算的目的，就是为了化简计算，对数概念能使
3、运算“降级”，即幂和开方的对数降为乘除对数计算(底不变)，乘除法的对数降为加减法对数计算(底不变)，从而达到化简计算的目的解：只有是正确的，所以填是错的从左边看，xy是初级运算，无法再“降级”，从右边看，是错的从左边看，xy是初级运算无法降级，从右边看，只有幂的对数才能得到对数乘法，即是错的(前面已作分析)是错的从左边看，是减法运算，无法再“降级”，其指数是1，即，不可能得到指数2从右边看，点评 一个数学命题在给定的条件下，有时正确，有时不正确，或只对某些特定值正确，而对一般值不正确，我们就作结论，这个命题是错误的例3 化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)思路分析这类问题，可以将整个式
4、子运用对数性质统一为一个单一的对数式(可以作的话)进行运算，这样作运算往往比较复杂，也就容易出错如果分别使用性质，对每一部分先化简或合并同类“项”，可以化简运算并提高运算的准确性解：(1)4lg23lg5lg1lg54lg24lg54(lg2lg5)4lg104(2)1(3)lg3lg7lg7lg10lg3lg101(4)解法一：0解法二：lg2(lg2lg5)lg51lg2lg51110例4 利用对数恒等式，求下列各式的值：(1)(2)(3)(4)思路分析应用对数恒等式的关键是幂的底数与对数的底数必须相同，当两个底数不一致时，应运用所学的知识，先将其化为“同底”，再用公式计算解：(1)，(2
5、)，(3)，7(4)，例5 化简下列各式：(1)；(2)思路分析当式子中的对数式的底数不同时，难以建立相互间的联系，也就无法进行化简，所以一般先使用“换底公式”，化为同一底的对数，或者经过分析，化为互有关联的数为底的对数在选择需换的底时，应将式子中现有的数均分解为质因数的连乘积，将基本的、相互关联的数选作新的底数解：(1)解法一：解法二：(2)1例6 已知，用a、b的代数式表示思路分析因为需要表示的目标是对数式，所以已知条件也都化为对数式，“已知与所求均逐步在内容和形式上求同”，是一般解数学题时常用的操作方法本题涉及3和5两个质因数，可以化为以其中一个为底的对数，可以建立相互间的联系解法一：，
6、1053571aab解法二：点评 思维方向正确，问题总可解出，但不同方法有繁有简，应该分析、实验、探索，尽量使用简捷的解法例7 求下列函数的定义域、值域，并画出每个函数的图象(1)；(2)思路分析定义域是研究函数时的一个重要环节，因为它决定着研究的范围对数概念对真数、底数有很严格的要求，所以只要问题涉及对数，首先必考虑它的范围要求对数函数的定义域！这点千万要注意求值域往往比较复杂，不但应用知识多，而且考虑要全面，往往还需对照课本介绍的最基本的函数的值域或图象特点，对所求函数的值域进行估计(今后还会学习求值域的新知识与新方法)解：(1)函数定义域是(1，)x(1，)时，x1(0，)函数的值域是R
7、(为描图象方便画三栏表)x24x113y101点评 描非直线型函数的图象，一般给出3个点能描出曲线的基本形态即可(太复杂的图象可多给点)注意有渐近线时，一定要用虚线画出渐近线(2)，则x0定义域是Gx|x0且xRxR时，函数的值域是R是偶函数它的图象关于y轴对称x1214y202如图216点评 不可化为作图，为什么？例8 求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)思路分析复杂函数的自变量允许取值可能受几种限制，自变量必须同时满足这些限制要求时，所涉及的每个概念才都有意义，整个的统一的函数才有意义因此，必须取所有每个概念限制范围的交集合，才同时满足全部要求，也就是函数的定义域一般一种限制给出一个
8、不等关系式，所以求复杂函数的定义域，解多个不等式构成的不等式组即可解：(1)或1x5函数的定义域是x|或1x5点评 考虑各种限制要求要一个个来，不能遗漏；对概念的要求把握要准确，如是否有等号等，因为只要一个值不对，整个定义域就是错的！(2)或1x4函数定义域x|或1x4(3) 函数的定义域是x(0，1)例9 (1)已知，将a、b、c、d四数从小到大排列为_(2)若时，则m与n的关系是( )Amn1 Bnm1 C1mn0 D1nm0思路分析比较两个量大小的具体操作是：判断量的符号比大小；同一函数的函数值用函数单调进行比较；同号的两数可与1或1比较；上述方法无效时，作差比较几个量比较时，需两个量两
9、个量逐次比较解：(1)，是减函数，是增函数，ba0是增函数，是减函数，c0，d0，则,c1d0,cda1函数是增函数n1，同理m1解法一：，mnmn1选A解法二：m1，n1作图象如图217当x2时，从图上观察得mn1解法三：而mn1选A点评 比较大小是常考题型，要灵活应用所学的知识，力求准确，迅速地给出答案例10 (1)若a0且a1，且，则实数a的取值范围是( )A0a1(2)若1xd，令，则( )Aabc Bacb Ccba Dca1时，是增函数联立解得a1当0a1时，成立选D点评 注意对讨论的条件a1(或0a1)要充分重视，没有这个条件，也就没有(或)这个结论，所以最后总结论必须由两者联立
10、求得结果！(2)1xac即ca53x 使的x值的集合是例12 已知函数(1)求函数的定义域；(2)求证f(x)是奇函数；(3)证明f(x)是减函数思路分析此题所求解的三个问题，都可以依据所涉及的函数的有关概念的定义入手，但在具体实施操作时，都会遇到一定的困难，这时必须灵活运用已掌握的知识巧妙处理，使这三个问题的解法各具特色，源于常规方法又不拘泥于常规方法，为我们提供了处理中学数学的某些问题的方法和技巧解：(1)对x取任何实数时都成立而对x取任何实数时都成立对x取一切实数均成立函数的定义域是R点评 我们运用了实数的绝对值的简明性质，绕过了目前不会解的不等式而求出定义域，这也说明数学中的概念和性质
11、也是化简数学运算的有效手段(2)解法一：定义域R关于原点对称f(x)是奇函数解法二：f(x)f(x)lg10f(x)f(x)是奇函数点评 奇函数的定义要求：f(x)f(x)，但在具体应用时，由f(x)经一系列恒等变换得到f(x)有时比较困难(如证法1)，如果将抽象的变换及性质应用，化为目标明确的运算(把f(x)f(x)化为f(x)f(x)0)，这时“倒数关系”会由暗到明，顺理成章的会得到结果所以有时把待证命题适当变形，也会给解决问题带来便利(3)设是任意实数且函数ylgx是增函数，即即即在R上是减函数点评 化繁为简、抓住关键，处理好部分结论，也能解决全局性的问题【同步达纲练习】一、选择题1的值是( )A B1 C D22函数的定义域是( )AR B(，1)(1，) C(0，1)
