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1、西南科技大学 5 高教研究 6 2005年第 4期 (总第 77期 ) 三角函数的高阶导数表 * 李晓妮 (西南科技大学生命科学与工程学院 ) 众所周知, 在三角函数中, 正弦函数和余弦函数的高阶导数有简明的计算公式 (见文献 1或 2)。本文将进一步给出 cot x和 csc x的高阶导数表的制表方法。 一、 cotx的高阶导数 本节将讨论函数 cot x的高阶导数, 为此我们定义一个对多项式的运算 D, 满足: (A ) Dc = 0 , Dx = 1- x 2, 其中 c为常数; (B ) 对任意的两个多项式 f(x), g(x), 有 i : D f (x) + g(x) = D f(
2、x ), g(x) , ii : D f (x) # g(x) = g(x) #D f (x) + f (x)# D g(x) 。 例如, D(x 2 ) = D(x# x ) = 2x#Dx = - 2x (1+ x 2 ); D( 3x 3 ) = - 15x 4 ( 1+ x 2 )。 若对 x连续施行 D 运算, 则 Dx = - 1- x 2; D 2x = - D( 1+ x2 ) = 2 X + 2 !X 3; D 3x = - D( 2x + 2 ! x3 ) = - 2- 8x 2 - 3!x 4; D 4x = - D( 2+ 8x + 2 ! x2 ) = 16x + 4
3、0x 3 + 4 !x 5; , 下面我们求 cot x的几个高阶导数, 希望能找到一定的规律。 cotcx = - csc 2x = - 1- cot2x, cotdx = - ( 1+ cot 2x )c= 2cotx (1+ cot2x) = 2cot x + 2 ! cot3x, cotx = (2cot x + 2 ! cot 3x )c= - 2- 8cot2x - 3 ! cot4x, cot (4) x = - (2+ 8cot 2x + 3 ! cot4x )c= 16cotx + 40 cot3x + 4 ! cot5x, , 从上述四式可归纳得出: cot x的 n阶导数
4、是 cotx 的一个 n + 1次多项式。 且若我们把 cot x整体视为一个未定元, 则求 cot x 的 n阶导数即相当于对多项式 x施行 n次的 D 运算, 54 *西南科技大学教改项目基金资助, 项目号: 210- 042040。 即 D nx。 从而由 Dnx的递推公式可得 cot(n) x的递推公式。 由等式 D nx = (- 1)n (an, 0+ an, 1x + an, 2x 2 + an, 3x 3 + , + an, nx n + an, n+ 1x n+ 1, 在其两端求 D 运算, 得 D n+ 1x = (- 1)n+ 1 an, 1( 1+ x 2 ) + 2a
5、n, 2x( 1+ x 2 ) + 3an, 3x 2 ( 1+ x 2 ) + , + nan, nx n- 1 (1+ x 2 ) + (n + 1)an, n+ 1x n ( 1+ x 2 ) , = (- 1) n+ 1 an, 1+ 2an, 2x + (an, 1+ 3an, 3)x 2 + ( 2an, 2+ 4an, 4)x 3 + , + ( (n - 1) an, n- 1+ (n + 1)an, n+1x n + nan, nx n+ 1 + (n + 1)an, n+ 1x n+ 2 = (- 1) n+ 1 (an+ 1, 0+ an+ 1, 1x + an+ 1,
6、2x 2 + an+ 1 , 3x 3 + , + an+ 1, n+ 1x n+ 1 + an+ 1 , n+ 2x n+ 2 ), 从而得递推关系式: an+ 1, k= - (k - 1)an, k- 1+ (k + 1)an, k+ 1, k = 0 , 1 , 2, , n + 1 ; an+ 1, n+ 2= - (n + 1)an, n+ 1= (- 1) n+ 1 (n+ 1)!.( 1) 其中约定: an, - 1= an, n+ 2= 0 , n = 1 , 2 , 3 , ,。 ( 1) 式也是求 cot (n) x的递推公式。 根据 (1) 式, 我们可编出 cotx的
7、高阶导数公式表。 编 表的方法如下: 首先, 给出下表 (表 1)。 表的第一行是 cotx的方幂, 从左往右 cotx的方幂从 0由低到高; 表的第一列是 cotx 的高阶导数的阶数, 从上往下 cot x的高阶导数的阶数从 1由低到高。 表 1 1cotx cot 2 x cot 3 x cot 4 x , 1 2 3 , 然后, 我们往表里填数。 因 为 cot x的奇数阶导数为偶函数, 即只 含 cotx的偶次幂, 从而当 cotx的高阶 导数的阶数为奇数时, 表中 cot x的奇 次幂对应的空白填 0 ; 相反地处理当 cot x的高阶导数的阶数为偶数的情 形。 若我们要填第 n行,
8、 即求 cot (n) x, 则第 n 行 cot n+ 1 x所在空白填 (- 1) n n!, 而自 cot n+ 2 x 及之后的空白全为 0 。 最后, 填表还遵循下述方法: 首先填第一行, 如下表 2 : 表 2 1cotxcot 2 xcot 3 xcot 4 x, 1- 10- 1! 201+ 1!02 ! 3- ( 1+ 1! )0- ( 1+ 1! ) + 3! 0- 3! , 然后, 记第 l行中 cot k x (k l + 2) 所在的空白应填数为 al, k, 则递归地, 第 n + 1行中 cot k x(k n + 2) 所在的空白应填数 an+ 1 , k正好为
9、其两肩上的数的相反数分别乘以相应的 cot x的次数, 之后相加, 即 an+ 1 , k= - (k - 1) # an, k- 1- (k + 1) # an, k+ 1, n = 1 , 2 , , k = 0 , 1 , 2 , , 约定: an, - 1= 0 , n = 1 , 2 , ,。 下面我们举例说明 cotx 的高阶导数表的应用。 例 1 试求 cot ( 6) x。 55 解 根据上述编表方法, 得如下导数表: cot ( n)x 1cotx cot 2 xcot 3 xcot 4 xcot 5 xcot 6 xcot 7 x 1- 10- 1 20202! = 2 3
10、- 20- 80- 3! = - 6 401604004! = 24 5- 160- 1360- 2400- 5! = - 120 60272012320168006! = 720 从而得, cot ( 6) x = 272cot x + 1232cot 3 x + 1680cot 5 x + 720cot 7 x。 二、 csc x的高阶导数 在本节, 我们讨论 csc x 的高阶导数。 类似于 cot x的高阶导数的求法, 我们定义一个对 二元多项式的运算 Q, 满足: (A ) Qc = 0 , Qx = - xy, Qy = - 1- y 2, Q(xy) = y#Qx + x# Qy
11、, 其中 c为常数; (B ) 对任意的两个多项式 f(x, y ), g(x, y ), 有 Qf (x, y) + g(x, y) = Q f (x, y) + Q g(x, y) 。 例如, Q(x 2 ) = Q(x# x ) = 2x# Qx = - 2x 2y; Q (5y3 ) = 5Q(y 3 ) = - 15y 2 ( 1+ y 2 ) 。 若对 x连续施行 Q 运算, 则 Qx = - xy; Q 2x = - Q(xy) = x( 1+ 2y2 ); Q 3x = Q x (1+ 2y2 ) = - x ( 5y + 6y 3 ); Q 4x = - Q x( 5y +
12、6y3 ) = x (5+ 28y 2 + 24y 4 ); , , 从上述公式归纳出, 对 x连续施行 n次 Q运算, 其结果是 Q nx = (- 1)nx (a n, 0+ an, 1y + an, 2y 2 + , + an, ny n )( 2) 且当 n为奇数时, y的偶次幂的系数为 0 , 当 n为偶数时, y 的奇次幂的系数为 0 。 从 ( 2) 式, 由 Q运算的性质, 得 Q n+ 1x = (- 1)nQ x(a n, 0+ an, 1y + an, 2y 2 + , + an, ny n ) = (- 1) n+ 1x# a n, 1+ ( an, 0+ 2an, 2
13、)y + ( 2an, 1+ 3an, 3)y 2 + , + kan, k- 1+ (k + 1) an, k+ 1 y k + , + nan, n- 1y n + (n + 1)an, ny n+ 1 = (- 1) n+ 1x(a n+ 1, 0+ an+ 1, 1y + an+ 1, 2y 2 + , + an+ 1, ny n + an+ 1, n+ 1y n+ 1 ) 从而得 Q运算的递推关系为: an+ 1, k= - kan, k- 1- (k + 1)an, k+ 1, k = 0 , 1 , 2 , , n- 1 an+ 1, n+ 1= - (n + 1)an, n=
14、(- 1) n+ 1 (n + 1)!( 3) 约定: an, - 1= 0 , n = 1 , 2 , ,。 下面我们求 csc x的几个高阶导数, 希望能如 cot x一样找到一定的规律。 cotcx = - cscx cotx, cotdx = cscx (1+ 2cot 2x), cotx = - cscx ( 5cotx + 6cot 3 x), cot (4) x = csc x( 5+ 28cot 2 x + 24cot 4 x), 56 , 从上述四式归纳可得:cscx的 n阶导数是 cscx本身与 cotx的一个 n次多项式的乘积。 且若我们把 csc x视为 x, cotx
15、 视为 y, 则求 csc (n) x即相当于对多项式 x 施行 n次的 Q运算, 即 Q nx。 从而求 Qnx的递推公式 ( 3) 也是求 csc(n) 的递推公式, 即 csc (n) x = (- 1) n cscx (an, 0+ an, 1cot x + an, 2cot 2 x + , + an, ncot n x) , csc (n+ 1) x =( - 1) n+ 1 cscx(an+ 1, 0+ an+ 1, 1cot x + an+ 1 , 2cot 2 x + , + an+ 1 , ncot n x + an+ 1 , n+ 1cot n+ 1x ), 则 an+ 1
16、, k= - kan, k- 1- (k + 1)an, k+ 1, k = 0 , 1 , 2 , , n- 1 an+ 1, n+ 1= - (n + 1)an, n= (- 1) n+ 1 (n + 1)!( 4) 约定 an, - 1= 0 , n = 1 , 2, ,。 根据 (4) 式, 我们可编出 csc x的高阶导数公式表。 编表的方法如下: 首先, 给出下表 (表 3)。 表的第一行是 cotx的方幂, 从左往右 cotx的方幂从 0由低到高; 表的第一列是 cscx 的高阶导数的阶数, 从上往下 cot x的高阶导数的阶数从 1由低到高。 表 3 1cotx cot 2 xcot 3 x , 1 2 3 , 然后, 我们往表里填数。 因 为 cscx的奇数阶导数为奇函数, 即只 含 cot x的奇次幂, 从而当 csc x 的高 阶导数的阶数为奇数时, 表中 cotx 的 偶次幂对应的空白填 0 ; 相反地处理 当 csc x的高阶导数的阶数为
