《带权函数空间的sobolev型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《带权函数空间的sobolev型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、首都师范大学 硕士学位论文 带权函数空间的Sobolev型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解 姓名：田如顺 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：苏加宝 20080501 带权函数空间的S o b o l e v 型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解 摘要 本文通过研究带权的径向函数空间的S o b o l e v 型嵌入，得到了一类带有无界或衰减 径向位势的拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性考虑拟线性椭圆型方程 ( P ) z R ， 这里一p U = - d i v ( J V uJ p _ 2 V u ) ，1 0 ， r - - * o o r a r 0 r a o ( Q ) Q (
2、 r ) 0 ，存在实数b 和6 0 ，使得 恕p 警 0 r 一0 r a o ( Q ) Q ( r ) 0 ，t h e r ee x i s tr e a ln u m b e rba n db o ，s u c ht h a t L e t 曝( R ) l i m s u p r - - + o O 掣 o ， r - - * O O 7 - a r - - * 0 a o ( Q ) Q ( r ) 0 ，存在实数b 和b o ，使得 h m s u p 掣 一p p N A g y _ 盟 N - p D g 锶哿一q q 时，存在C 1 0 及R 0 ，对于Vu 墨， p (
3、 q - 1 ) a + ( 一1 ) p 口+ f 空一p ! l u ( z ) I C l l x l 而一I l u l l x r ， R ( 2 ) 当P 0 及R 0 ，对于Vt 墨， M z ) ls 科盯蛙学坼， R 证明( 1 ) 利用稠密性，只需要对u q o o n N ) 证明结论成立 根据条件( y ) ，存在6 o 0 ，R 0 ，使得 V ( I x l ) 6 o I x l a ， R ( 2 1 ) ( 2 2 ) 令a = p ( q - 1 ) a + ( N ；) p q + N ( q - p ) ，根据口 一P 可知o 0 ，从而 导( 叫札n
4、= q r 。l “I q - 2 u 窘r r - - Q 卅”1 q r w q u 等 因此当7 R ，根据H S l d e r 不等式 ， l u l q r n 口l t 1 9 - 1 t nW ( t ) l d t J r ：q 厂忡l 卅N ，- - I 1 u l g - 1 t 孚( 洲- 1 ) t 一- - 肛 b - - 1 一孚( 洲一1 ) d t q 一孚u 二岁IIICoi p q I V u l l p I I V ( I x l ) 讫l l q q 一1 ( 厂t 【口孚一孚( 口+ _ 1 ) 】嚣d t ) 苜 q 。u 一Ip 一1l t P
5、一下一F 峥十”。”；d oJ q 西孚u 二芽支，( f t 【n 一孚一孚c 卧叫，器蹴) 訾 由a 取值可知 ( Q 一等一q - ql ( 。+ - 1 ) ) 而P q 0 ，从而 未( 产I 让I p ) = n 川P 2 乱骞+ 。I u I p ，。p r 口I u 。p - 2 u d d r ? i , 1 4 带权函数空间的S o b o l e v 型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解 凼此当，- R ，根据H S l d e r 不等式， ， l t l p 产p l t l p m tI t 7 ( t ) l d t ，r ：p 厂”J ( t ) 陋孚l u I t
6、q r - ( a + N - 1 ) t a 一孚一孕( 口+ _ 1 ) d t C o q 矗f r o 。t a t N - t M g 斑) p - 口1 ( Z t 一簧斑) 芈 o ，伤 0 ，对于V u 墨I “ 1 残p ( B r o ) ， ) J 一蛆掣业I， 0 ，对于V u 墨nD 护( ) ， p ( t , - 1 ) a n + f ，一l 阳+ f 口一p ) l t ( z ) J q I z I 一7 一I I t 正I l x ，0 0 以及C o 0 ，使得 Y ( I x l ) c o I z I 如，0 一t 从而有估计式 ) l q 1 。l
7、 眨必半II t u l t x ，0 0 ( 不妨取岛充分大，使得( 2 7 ) 式同时成立) 及C o 0 ， 使得 Q ( t x l ) C o l z l 6 ，v ( I x t ) C o I x l n ，当I z l R 0 ； Q ( I x l ) l i z l 6 口，v ( 1 x 1 ) 之c b f z I ，当0 岛，r 。 若不然，即S o o ( KQ ) = 0 ，则存在 乱。) C 墨，使得 l l “。I I * = l l W , , l l L + j V ( x ) i u n l l L q = D ( 1 ) ，当7 l 一。， I L 孑
8、三1 ，对于所有n N 我们将证明在( 3 1 7 ) 式的条件下有 l i m lI乱nlIL器=0n-，OO 这与( 3 1 8 ) 式矛盾，从而连续嵌入成立对于R 和0 0 使得 上Q ( I 硼( 1 让1 8 - 1 - I - “ I 。1 ) 如 茗L 冬+ I l h l l l 5 G ，( | 吲I I I I x + I I I l k - r ) 从而应用L e b e s g u e 控制收敛定理， ( E ( u ) ， ) = 。l i m + 。兰型鱼生掣= 上Q ( I z I ) 1 u 1 8 - 2 u h d z 因此如在u 处具有线性有界的G h t
9、 e a u x 导数由u 的任意性，3 在墨上具有线性有界 的G h t e a u x 导数下面证明砖在珏处足连续的设 乱。 是墨中收敛到U 的序列，则根 据定理1 1 Q ( I x l ) ：u n Q ( 吲) i 1 牡， E L s ( R N ) e e 1 1 t l I 【3 5 】e e 弓i l S lA 1 ，对于 札。) 的任意子列 ) ，存在 ) 的子列 W n ) 以及g L 8 ( R ) 使得 Q ( 1 。j ) ；。( z ) _ Q ( j 。j ) ：札( z ) ， n e z R I Q ( 1 z I ) i 1 仳( z ) I ，I Q (
10、 I z I ) ；1 伽，l ( z ) l 夕( 。) ， 口e z R 从而 Q ( I z l ) 睾l I ) l S - 2 w ( 。) 一l u ( z ) 1 8 - 2 u ( z ) l 2 1 9 ( 。) r 1 n e 。R N 根据L e b e s g u e 控制收敛定理， 怖小粕酬5 ( 上驯) S - - 2 V n _ I 计气I 击枣) 孚川训x ， = o ( 1 ) l l h l l x 当n _ o o 带权函数空间的S o b o l e v 型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解 从而玛( ) _ E ( u ) ，而这蕴含着玛( ) _ 马(
11、u ) 根据u 的任意性，在墨上连续因 此根据【3 5 】的命题1 3 可知，矗C 1 ( 墨，R ) 为了证明泛函，满足( P s ) 条件，我们还需要引入 定义4 4 设x 为B a n a e h 空间，x 足x 的对偶空间算子A ：x x 若对于 V t I n ) cX 满足 ( 1 ) u n t ， ( 2 ) l i m s u p ( A ( u n ) ，锃。一让0 ， 都有U n _ 让成立，则称算子A 满足( ) 条件 定义4 5 设x 为B a n a c h 空闯I ：X R 为凸泛函，集合Ccx 若对于VE 0 ， 存在艿( E ) 0 ，使得 J ( 半) s
12、互1 m ) + 扣川， ( 4 2 ) 对于任意u ，t ，C ，I l t l 一训I 成立，则称J 在C 上足一致凸的若，在x 中的v a 一， - 球上 都足一致凸的，则称泛函，足局部一致凸泛函 引理4 6 ( 【2 l 】命题2 1 ) 设x 为B a n a c h 空间若I ：X R 足局部一致凸且局部有 界的c 1 泛函，则算子 1 7 ：X _ X 满足( & ) 条件 应用引理4 6 ，我们证明辅助结果 命题4 7 设1 0 ，使得，满足( 4 2 ) 式设 以( ”) = 三上J V “I p d x ，以( 乱) = 言上y ( J z J ) u q d x ，让X
13、r 2 6 堂壑鱼壑窒塑箜9 b o l e v 型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解 因为L P ( R ) ( 1 P ，故存在p ，口 0 使得i n f u u I I x ，：P J ( u ) n ，即条件( ) 成立下面验证( 如) 取 u o 墨且撕0 ，则 J ( t u o ) = 詈上I V t 协I p d x + 警上y ( I z I ) l u o l 口d x 一等上Q ( I z I ) l u o l 8 d x 从而由Q ( I x l ) 0 及q 1 ，所以 为墨中有界序列根据墨的自反性，存在u 墨及序列 ) 的 子列 ) ，使得一u 根据紧嵌入定理可知，
14、 v n _ + t ， 在三冬中 ( 4 6 ) 设泛函J ：墨一R 如( 4 3 ) 式所定义，则根据命题4 7 ，J 满足( ) 条件。 ， ( ，( ) ，一牡) = I V v , , I p - 2 V v , 。( V v n V u ) + V ( t x l ) l v n l q - 2 口。( “ 。一u ) d x J R “ ， = ( I I ( ) ，一让) + J Q ( ) I l s - 2 ”n ( V n u ) d x ，R o 因为J ( ) _ o 且 ) 有界，上式中第一项收敛于零又根据( 4 6 ) 式以及H S l d e r 不等 式，上式
15、第二项亦收敛于零根据定义4 4 ，我们有_ U ，从而J 满足( P S ) 条件 最后，利用山路定理，可得( P ) 存在非平凡解 定理1 5 的证明类似于定理1 4 的证明，略 注4 1 0 利用H B r e z i s 和L N i r e n b e r g 在m 中的结果， 得到的非平凡解足正解 注4 1 l 由于，( 茹，t | ) = Q ( I x l ) l u l 8 2 铭关于珏是奇函数， 以进一步证明问题( P ) 存在无穷多解 可以证明定理1 4 和定理1 5 故应用【删中的定理9 1 2 ，可 注4 1 2 在本文中，我们仅考虑了f ( x ，牡) = Q ( I x l ) l u l s - - 2 u 这一特殊情形事实上，我 们还可以研究更一般的函数，在后续工作中，我们将考虑这一问题 2 9 带权函数空间的S o b o l e v 型嵌入与拟线性椭圆型方程的径向解 参考文献 【1 1 1A m
