《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教A版选修2-1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时空间向量与平行关系1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法.(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.(重点、难点)基础初探教材整理1直线的方向向量与平面的法向量阅读教材P102P103“第2自然段”内容，完成下列问题.1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_的非零向量，一条直线的方向向量有_个.【答案】平行或共线无数2.平面的法向量的定义直线l，取直线l的_a，则a叫做平面的法向量.【答案】方向向量若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(
2、3,2,1)【解析】(2,4,6)2(1,2,3).【答案】A教材整理2空间中平行关系的向量表示阅读教材P102P103内容，完成下列问题.线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lm_线面平行设l的方向向量为a(a1，b1，c1)，的法向量为u(a2，b2，c2)，则l_面面平行设，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则_【答案】ab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)au0a1a2b1b2c1c20uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)若直线l的方向向量a(2,2，1)，平面的法向量(6,8,
3、4)，则直线l与平面的位置关系是_.【解析】a121640，a，l或l.【答案】l或l小组合作型求平面的法向量已知ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，试建立适当的坐标系.图321(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量.【精彩点拨】(1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0
4、)，D，S(0,0,1).(1)SA平面ABCD，(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.(2)ADAB，ADSA，AD平面SAB，是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCD中，(1,1，1).设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则n，n，所以得方程组令y1，得x2，z1，n(2，1,1).1.若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2.一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n(x，y，z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).(3)根据法向量的定义建立关于x，y
5、，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.3.在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.再练一题1.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求： 【导学号：37792126】图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.【解】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0
6、,2).(1)连接AC，因为AC平面BDD1B1，所以(2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(2)(2,2,0)，(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n(x，y，z).令x2，得y2，z1.n(2，2，1)即为平面BDEF的一个法向量.利用空间向量证明线线平行如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.图323【精彩点拨】两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平行？【自主解答】以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F
7、，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形.1.两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面.2.直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.3.两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.再练一题2.长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E2EB1，BF2FA1.求证：EFAC1. 【导学号：37792127】【证明】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线
8、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E，F.，(a，b，c)，.又FE与AC1不共线，直线EFAC1.探究共研型利用空间向量证明线面、面面平行探究利用待定系数法求平面法向量的解题步骤是什么？【提示】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.【精彩点拨】利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系D
9、xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1).(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2).因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.1.利用空间向量证明线面平行一
10、般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直.2.利用空间向量证明面面平行，求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行.再练一题3.在如图324所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点，求证：AB平面DEG.图324【证明】EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EF
11、BE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直.以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，(0,2,2)，(2,2,0)，(2,0，2).设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)，n2020，即n.AB平面DEG，AB平面DEG.1.给定下列命题：若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，且向量a，则an0；若两个平面的法向
12、量不垂直，则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是()A.1 B.2C.3D.4【解析】正确，中由，得n1n2.【答案】C2.已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()A.x6，y15B.x3，yC.x3，y15D.x6，y【解析】l1l2，ab，存在R，使ab，则有23，4x,5y，x6，y.【答案】D3.已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.【解析】l，l的方向向量与的法向量垂直.(2，m,1)2m20.解得m8.【答案】84.如图325，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形.求证：直线BCEF. 【导学号：37792128】图325【证明】过点F作FQAD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED平面ACFD，知FQ平面ABED，以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系.由条件知：E(，0,0)，F(0,0, )，B，C.则有，(，0, ).所以2，即得BCEF.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。9
