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1、第四节数列求和与数列的综合应用2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法；2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题。2016，天津卷，18,13分(等差数列的证明、数列求和)2016，山东卷，18,12分(数列通项与求和)2015，北京卷，20,13分(数列与函数、不等式的综合)2015，四川卷，16,12分(等差、等比数列的综合应用)1.本节以分组法、错位相减、倒序相加、裂项相消法为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考
2、查的热点；2.题型以解答题的形式为主，难度中等或稍难。一般第一问考查求通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合。微知识小题练自|主|排|查1公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。等差数列的前n项和公式：Snna1d。等比数列的前n项和公式：Sn(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法
3、推导的。(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050。3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。(2)常见的裂项技巧。4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。微点提醒1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了
4、哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。小|题|快|练一 、走进教材1(必修5P47B组T4改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B.C. D.【解析】an，所以S5a1a2a3a4a51。故选B。【答案】B2(必修5P61A组T4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0且x1)。【解析】设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，所以Sn。【答案】二、双基查验1若数列an的通项公式为an2n
5、2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2【解析】Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22。故选C。【答案】C2若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12C12 D15【解析】an(1)n(3n2)，a1a2a1014710131619222528(14)(710)(1316)(1922)(2528)3515。故选A。【答案】A3数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n()A9B99C10 D100【解析】
6、an。Sna1a2a3an(1)()()1。19，即10，n99。故选B。【答案】B4已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_。【解析】ann2n，Sn121222323n2n。2Sn122223(n1)2nn2n1。，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12。Sn(n1)2n12。【答案】(n1)2n125数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列的前10项和为_。【解析】an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)(n2)21，所以2，所以的前10项和2。【答案】微考点大课堂考点一 分组转化法求和【典例1】已知数列an的通项
7、公式是an23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，求其前n项和Sn。【解析】Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123(1)nnln3，所以当n为偶数时，Sn2ln33nln31；当n为奇数时，Sn2(ln2ln3)ln33nln3ln21。综上所述，Sn【答案】Sn反思归纳1.若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和。2通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组转化法求和。【变式训练】(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4。(1)求an的通项公式；(
8、2)设cnanbn，求数列cn的前n项和。【解析】(1)等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27。设等差数列an的公差为d。因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2。所以an2n1(n1,2,3，)。(2)由(1)知，an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1。从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2。【答案】(1)an2n1(n1,2,3，)(2)n2考点二 错位相减法求和【典例2】(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1。(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn。【
9、解析】(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5。设数列bn的公差为d，由得可解得b14，d3。所以bn3n1。(2)由(1)知cn3(n1)2n1。又Tnc1c2cn，所以Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2。【答案】(1)bn3n1(2)Tn3n2n2反思归纳选择数列求和方法的依据是数列的通项公式，如该题第(2)问中通过化简数列cn的通项公式可知，其可以写成一个等差数列与等比数列的通项公式的乘积形式，故应采用错位相减法求和。【变式训
10、练】(2016桐乡模拟)已知公比q不为1的等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差数列。(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，在an与an1之间插入n个数，使这n2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn。【解析】(1)因为a4S4，a5S5，a6S6成等差数列，所以2(a5S5)a4S4a6S6，即2a63a5a40，即2q23q10(q1)，解得q，故ann。(2)若记插入的n个数为xn(n1,2，n)，由(1)及等差数列的性质及前n项和公式可知x1xnanan1，bnnn，Tn，Tn，得Tn，TnTn。【答案】(1)a
11、nn(2)Tn考点三 裂项相消法求和【典例3】(2017开封模拟)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*。(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有。【解析】(1)由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*。令n1，有S(1213)S13(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an为正数，所以a12。(2)由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3，又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)。所以当n
12、2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n。又a1221，所以an2n。(3)证明：当n1时，成立；当n2时，所以。所以对一切正整数n，有。【答案】(1)a12(2)an2n(3)见解析(3)。(4)()。(5)logaloga(n1)logan。【变式训练】我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，。第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，an。则a1a2a2a3an1an等于()An2 B(n1)2Cn(n1) Dn(n1)【解析】a1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)，故选C。【答案】C考点四 数列与函数、不等式的综合
