命题与条件

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1、1第三讲 命题与条件一、课前练习已知函数 ，集合 ，集合 ，2()1,fxaRx()Axf()Bxfx且 ，求实数 的取值范围。AB解：二、知识要点1、命题与推出关系（1）命题：表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成.（2）推出关系：如果 这件事成立可以推出 这件事也成立，那么就说由 可以推出 ，记作：.（3）正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明，即证明满足命题条件能推出命题结论；错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例，即举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子.例 1、判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？(1) 你

2、是高一学生吗？(2) 过直线 AB 外一点作该直线的平行线(3) 个位数是 5 的自然数能被 5 整除(4) 互为余角的两个角不相等(5) 竟然得到 59 的结果!(6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似解：由例 1 的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例” 要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论一般地，如果事件 成立可以推出事件 也成立，那么就说由 可以推出 ，并用记号 表示，读作“ 推出 ”换言之， 表示以 为条件， 为结论的命题是真命题2如果

3、事件 成立，而事件 不能成立，那么就说事件 不能推出事件 成立，可记作 换言之 ， 表示以 为条件， 为结论的命题是一个假命题如果 ，并且 ，那么记作 ，叫做 与 等价显然，推出关系满足传递性： ， ，那么 2、四种命题形式如果用 和 分别表示原命题的条件和结论，用 和 分别表示 和 的否定，那么四种命题形式是：原命题：如果 ，那么 . 逆命题：如果 ，那么 .否命题：如果 ，那么 . 逆否命题：如果 ，那么 .其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题，同真或同假。互为逆否命题的两个命题是等价命题.3、充分条件与必要条件如果 ，那么 是 的充分条件.如果 ，那么 是 的必要条件.如果

4、且 ，即 ，那么 是 的充分而且必要条件，简称充要条件.4、子集与推出关系若 ， ，则 与 等价.Ax具 有 性 质 Bx具 有 性 质 AB例 2、判断下列命题的真假，并说明理由：（1）三点确定一个圆；（2）若 ，则 ；A或（3）设 ，若 是 的整数倍，则 中至少有一个是 的整数倍；*Ncba、 abcba、 c（4）如果 中 ，那么这个方程有实数根；)0(2x（5）若 ，则 。CBA,A解：3例 3、写出下列命题的否定形式：（1） 都是零；（2）方程 无实数根；ba、 0432x（3）我班至少有两个学生是三好学生；（4）存在实数 ，使得 。x012x解：注： “都是”-“不都是” ； “一

5、定是”-“一定不是” ；“至多一个”-“至少两个” ； “且”-“或” ；“都不是”-“至少有一个是” ；“所有- 都-”-“至少有一个- 不-” 。例 4、写出命题“已知 ，若 且 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断,xyR0xy0x四个命题的真假.解：例 5、判断下列条件是结论的什么条件：（1）集合“ ”是“ ”的 条件ABCB（2） ，则“ ”是“ ”的 条件2,xR021x且 02121xx且（3） ，则“ 且 ”是“ 且 ”的 条件yy4y（4） ，则“ ”是“ 且 ”的 条件,xxx解：4例 6、已知实系数一元二次方程 ，试写出下列各条件的一个充要条件：20axbca（1）

6、方程有一个正根、一个负根； （2）方程有两个正根； （3）方程有两个不同负根； （4）方程有一个正根、一个根为 ；（5）方程有一个根大于 1、一个根小于 1解：例 7、试用集合的包含关系说明 是 的什么条件(1) ： x=1， y=2 ： x+y=3(2) ：正整数 n 被 5 整除， ：正整数 n 的个位数为 5.解：例 8、设 ：1 x3， ： a+1x2a 1，若 是 的必要条件，求实数 a 的取值范围.解：例 9、命题甲：关于 的方程 有两个均小于 的不同实根.命题乙：x24130axaR2关于 的不等式 对一切实数 都成立.问：甲是乙的什么条件？并说明理由.10ax解：5例 10、集

7、合 ，问是2 2(,)|1,(,)|450,AxyBxyxy(,)|Cxykb否存在自然数 使得 ，并证明。kb()C解：三、巩固与提高1、命题“对任意的 ， ”的否定是( ) xR3210x（A）不存在 ， （B）存在 ，xR3210x（C）存在 ， （D）对任意的 ，x32x2、设 是一元二次方程 的两实根，则 成立的必要条件是( ) 12, 0abc12,xA ； B ； C ； D 1268x124x124()0124x3、若 都是实数， 试从 A、 ，B 、 ， C、 ， D、 ，E、cba, 0ab0b2ba0ab， F、 中分别选出适合下列条件的代号填空02使 、 都是 0 的充

8、分条件是_；使 、 都不是 0 的充分条件是_；ab使 、 中至少有个是 0 的充要条件是_；使 、 中至少有一个不是 0 的充要条件是_4、若命题 的逆命题是 ，命题 的否命题是 ，则命题 是命题 的 。pqpq5、设 ，则“ ”的 条件是“ ”. xyR、 3xy2,1xy6、 “ ”的 条件是“ ”。 a1a7、 “ ”是 的 条件. 2x2x8、已知命题“ ” 和“ ”都是真命题，则“ ”是“ ”的bcdbefcdef条件。9、已知原命题的否命题是“若 且 ，则 ”，那么原命题的逆命题是 . 3x2260x610、写出命题：“设 ,如果 ,那么 .”的等价命题,abcR0abc220a

9、bc_。11、设 ，则“ ”的一个必要不充分条件是 . 、 012、关于 x 的方程|x|-|x-1|=2a+1 有解的充要条件是_。13、设 ，若 ，则 或 或 .写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，abc、 、 abc0bc并判断上述四个命题的真假解：14、(1)写出命题“全等三角形两边和其中一边的对角对应相等”的逆命题；(2)写出命题“若 a1 或 b2，则 a2+b22 a4 b+50”的否命题；(3)写出命题“若 a 1/a，则 a1”的逆否命题；(4)写出命题“若 A B，则 A B B”的逆否命题解：15、设 ： 有两个不相等的负实根； ： 无实根；p012mxq2410xmx若“ 或 ”为真，而“ 且 ”为假，求实数 的取值范围。qpq解：16、已知抛物线 ， ， 至少有一条与 轴相243yxa221yxa2yxax交，求实数 的取值范围。解：