《双调和方程及油田注水开发最优控制问题数值分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双调和方程及油田注水开发最优控制问题数值分析（124页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、博士学位论文 S h a n d o n gU n i v e r s i t y D o c t o r a lD i s s e r t a t i o n 论文题目：伊调劫需带粤渺哼c 毛斗百爱苇供 镌鼬刁堕数僵劣研 学 苄对、 合作导师 勤皇堕 塑亟 沙f b 年r 月跏日 者业 师 作专 导 ，1 本 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：翌! 垄亚二 E t 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人
2、完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：兹垒堑：导师签名： 中文摘要 英文摘要 第一章第一类双调和方程的控制受限最优控制问题的C i a r l e t R a v i a r t 混合元 逼近 1 1 引言 1 2 最优控制问题与最优性条件 1 3D R 混合有限元逼近 1 4 先验误差估计 1 4 1 先验误差估计
3、1 4 2 数值实验 1 5 后验误差估计 1 5 1 可靠的后验误差估计子一误差上界 1 5 2 有效的后验误差估计子一误差下界 1 5 3 数值实验 第二章控制与状态双受限的第一类双调和方程最优控制问题先验误差估计 2 1 引言 2 2 最优控制问题及最优性条件 2 3 有限元逼近 2 4 收敛性结果和先验误差估计 2 5 数值实验 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 油田注水开发最优方案设计问题数值分析 引言 记号及弱形式 最优性条件 有限元离散 先验误差估计 V x l 1 1 2 5 7 7 3 9 9 O 5 9 9 O 3 4 4 1 l 4 5 6 7 2 2 2
4、4 4 鲥4 5 5 5 6 r 7 7 Z 研7 ； 山东大学博士学位论文 3 6 数值实验 7 9 参考文献 致谢 攻读博士学位期间完成论文情况 作者简介 8 9 9 7 9 8 9 9 3 5 例3 1 一最优注水与常数值注水的泛函值比较 8 5 3 6 例3 2 一非均质油藏的最优注水曲线 8 6 3 7 例3 2 一均质油藏( 左) 与非均值油藏( 右) 最终时刻地下油浓度分布 8 7 3 8 例3 3 一固定油水价格，变换注水周期时最优注水线的变化 8 8 山东大学博士学位论文 表格目录 例1 1 ，k = l 时的误差结果 2 5 例1 1 ，k = l 时的收敛精度2 5 例1
5、 1 ，k = 2 时的误差结果 2 6 例1 - 1 ，k = 2 时的收敛精度2 6 例1 2 ，k = l 时的误差结果 2 8 例1 2 ，k - - 1 时的收敛精度 2 8 例1 2 ，k = 2 时不同套网格的误差结果2 9 例1 3 ，一致网格与自适应网格的误差结果 4 6 例1 4 ，一致网格与自适应网格的误差结果 4 7 例2 1 ，k = l 时的误差结果6 6 例2 1 ，k = l 时的收敛精度 6 6 例2 1 ，k = 2 时的误差结果 6 7 例2 1 ，k = 2 时的收敛精度 6 7 例2 2 ，k = l 时的误差结果6 8 例2 2 ，k = l 时的收
6、敛精度 6 9 例2 2 ，k = 2 时不同套网格的误差结果 7 0 I J 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 L L L L L L L L L 幺互2互互勘Z 曹伟东 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 指导老师t 羊丹平教授刘文斌教授 摘要 偏微分方程最优控制问题在近三十多年的快速发展，为数学学科带来了一个非常 有发展前景和生命力的研究领域对于这领域的研究，涉及到了物理、化学、生物等 许多应用领域的内容，如材料设计、晶体生长、温度控制、石油开采等等，相关的文献 可以参见 3 9 ，4 7 ，4 9 ，7 3 】等其中涉及到的偏微分方程，既有
7、椭圆的和线性的，又有抛 物、双曲的以及非线性的此外，按照受限条件的不同，还可包含控制受限的最优控制 问题和状态受限的最优控制问题偏微分方程最优控制问题在近几十年的发展中，已 经有了相对完善的理论框架，相关的计算软件的开发也取得了很大的进展工程上以 及数学上，科学家们关心的最优控制问题大多可用如下的抽象数学模型来表示t s t m i n J ( 可，让) ) u d A ( y ；让) = 0 其中J 为根据实际需要提出的目标泛函，秒称为状态变量，t 称为控制变量，称为 控制约束集，A ( 可；让) = 0 表示某一偏微分方程，其中还包括变分不等式，甚至结合状 态受限等多种形式，一般地。我们称
8、A ( 秒；u ) = 0 为状态方程 近些年来，对偏微分方程最优控制问题这一领域的研究，以下四个方面得到了大 家的广泛关注和深入探索t ( P 1 ) 研究受控于更多种类型的偏微分方程的最优控制问题，根据实际工程的需 要，建立更多的数学模型，并在已有的理论基础上，对于提出的模型进行深入的理论 分析和算法实现； ( P 2 ) 自适应有限元方法更深入的应用； 山东大学博士学位论文 ( P 3 ) 探索更加复杂的受限条件，针对控制受限和状态受限的问题，如何建立更加 完善的数学理论和有效的数值算法； ( P 4 ) 如何处理更加复杂的偏微分方程，如对于二维乃至三维的耦合的非线性时变 偏微分方程组，
9、如何建立这样的最优控制问题的快速有效数值求解算法，从而使最优 控制理论更直接地应用于生产实际 显然，这四个方面能给我们带来一片十分广阔而又非常富有挑战性的研究空间 因此，对于这几个方向的探讨，无论在数学的理论分析上，还是在工程的实际应用需 求上，都具有重要的研究意义 对于第个方面( P 1 ) ，单就椭圆控制问题来说，供我们可研究的偏微分方程就还 有很多对于受控于二阶椭圆方程的控制问题，按照受限变量划分，在控制与状态受 限两大方面均有了较广泛的研究，如【2 ，3 ，6 ，1 4 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，3 1 ，6 1 】等相关文献； 按照控制类型划分，在分布式控制、边界控制
10、及参数估计等方面，也有了比较完善的 结果，如【5 0 ，5 8 ，5 9 ，8 2 ，8 3 】等而对于受控于四阶椭圆方程的最优控制问题，研究相 对较少，在这一领域，有许多相关的数学模型尚未建立，而众多数值算法的应用，更是 需要科研工作者探索的重要课题我们知道，求解四阶椭圆方程，如果用协调元直接 进行有限元离散，基函数对应的分片多项式需要较多的自由度，带来计算量的迅速增 _ 加因此，寻求更加快速有效的数值算法，以及将这些算法融合到最优控制的算法中 去，是一项很有意义的工作 在四阶偏微分方程的数值算法研究方面，特别地，在双调和方程的研究上，已经 有很多出色的工作，例如文献 7 ，8 ，2 2 ，
11、2 5 ，2 6 ，2 8 ，3 0 ，4 0 ，5 3 ，6 3 ，6 8 ，7 1 ，8 1 】等双调 和方程描述的物理模型来自于流体力学和工程力学，例如弹性板的弯曲本文中，我 们仅就双调和方程中很有代表性的一个类型展开研究，即第一类双调和方程，数学表 达式如下。 A 2 y = t ，在Q 内，秒= 嘉= o ，在a Q 上 在某些关于第一类双调和方程的应用类文献中，例如梁和板的形变问题中，上面 模型中的Y 表示位移，A y 表示曲率，一般地，工程上比较关心这这两个参数，从而相 应地带来了关于控制这两个参数的最优控制问题的研究在上面模型中，右端项t 表 示外部的负载或者作用力，如何控制外
12、力来改变板的位移和曲率等形变性质，根据不 同的目标，我们可以建立多种最优控制模型 山东大学博士学位论文 对于四阶偏微分方程，为了减少自由度，更加快速地求解，我们很自然地引入混合 有限元离散格式关于四阶偏微分方程的混合有限元离散格式，已经有了较多的研究， 例如C i a r l e t R a v i a r t 混合元、H e r r m a n n - M i y o s h i 混合元、H e l l a n H e r r m a n n J o h n s o n 混合元等等，相关的文献可见【1 l ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，5 l ，6 3 ，6 8 ，7 1 】等以及这些文章的参考文 献在众多混合元格式中，C i a r l e t - R a v i a r t 混合元离散格式的某些特殊性引起了我们 的研究兴趣从已有的结果来看，S c h o l z 在【7 1 】中给出了双调和方程分片线性C i a r l e t - R a v i a r t 元离散格式的收敛性结果，对于这一问题的分片高次多项式C i a r l e t - R a v i a r t 元离散格式，B a b u
