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1、南京林业大学应用数学系许永平 概率论与数理统计模拟题三 一、单项选择题 1. 设随机事件与 互不相容，且 P(A), 0 P(B), 0则（） (A)P(A B) 0(B)P(B A)= = 0 (C)P(A B)P(A)= = (D)P(AB)P(A)P(B)= = 南京林业大学应用数学系许永平 分析：与互不相容，则有 AB = = P(AB)= 0 P(AB) P(A|B) P(B) = = = 0 南京林业大学应用数学系许永平 2. 设下列函数的定义域均为(,), + +则其中可 作为概率密度的函数是( ) x (A)f (x)e= = x (B)f (x)e = = 1 2 x (C)
2、f (x)e = = x (D)f (x)e = = 南京林业大学应用数学系许永平 分析：密度函数的性质之一为 f (x)dx + + = = 1 f (x)dx + + = = x edx + + 1 2 x edx + + = 0 1 2 2 x edx + + = = 0 x e + + = = = 0 1 其他几个选项都不满足此性质。 南京林业大学应用数学系许永平 3. 已知随机变量的概率密度为 ,x, f (x) , =0 2910 750 25 P(Y)P(XK)=1 P(XK).=10 25 K.=110 29.= = 0 71 南京林业大学应用数学系许永平 4. 设为来自总体
3、的样本，且 n X ,X 1 X N( , )0 1 则统计量 n i i X _ = = 2 1 (n). 2 分析：由于样本是相互独立的，且与 n X ,X 1 总体具有相同的分布，由分布的定义即得结论。 2 南京林业大学应用数学系许永平 5. 已知( .).,=1 960 9750( .).=1 6450 95 设来自总体X N( , .) 0 09的容量为9的样本， 样本均值为X,= = 4则 的置信水平为0.9的 双侧置信区间为_ ( ., .)3 8355 4 1645 分析：因为X N( , .), 0 09 所以 X N( , ) n 0 1 从而可得置信区间为 Xz n 2
4、( ., .)= = 3 8355 4 1645 南京林业大学应用数学系许永平 三、对敌机进行三次独立的炮击,三次炮击的命 中率分别为0.4,0.5和0.7, 敌机被击中一、二、三弹 而被击落的概率分别是0.2,0.6和1,求炮击三次而 击落敌机的概率。 解: 设i=第i次炮击击中敌机()()i, ,= =1 2 3 设Ai=敌机中弹()()i, ,= =1 2 3 设B=炮击三次而击落敌机,故 南京林业大学应用数学系许永平 P(A )P(B B B= =23 11 B B B+ +13 2 B B B )+ +12 3 P(B )P(B )P(B )=+=+3 21 P(B )P(B )P(
5、B )13 2 P(B )P(B )P(B )+ +12 3 .=0 40 5 0 3.+0 60 5 0 3.+0 60 5 0 7 .= = 0 36 同理 P(A ).,= = 2 0 41P(A ).= = 3 0 14 由全概率公式 P(B)=+ =+ =0 360 20 41 0 60 14 10 458 南京林业大学应用数学系许永平 四、设 的联合密度函数为 (xy) ex,y f (x,y) + = = 0 0 ， ，其它 ， ，其它 求随机变量的概率分布密度。ZXY=+=+ 解：先求的概率分布函数 F(Z)。 F(Z)P(Zz)=P(XYz)=+=+ (1)当 Z = 100
6、010 0 977( )= = 2 n ,n., n = = 2 3 0 2 00 其中0为未知参数。又设样本为 n X ,X , 1 样本的观察值为 n x ,x 1 (1) 试求 的极大似然估计（记为 ) (2) 问是否为的无偏估计，试说明理由。 （已知：） x q x edxq q = = 3 3 0 6 南京林业大学应用数学系许永平 解:(1) 最大似然函数 ()() i x n qi n i x L x ,x ,qe q = = = = 2 13 1 2 取对数 ()() n lnL x ,x ,q 1 nn ii ii (lnx )nlnnlnqx q = = 11 1 223 n
7、 q + + 3 n i i x q = = = = 2 1 1 0得 的最大似然估计记为 n i i x n = = = = 1 1 3 南京林业大学应用数学系许永平 ()() n i i ( ) E(x )E X , n = = = = 1 11 2 33 而 ()() x q x E Xxf (x,q)dxedxq q = 3 3 0 3 2 从而 ()() n i i E(x )E Xq n = = = 1 11 33 所以是无偏估计。 南京林业大学应用数学系许永平 八、自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重 X N( ,), 2 按规定包装机正常工作时每袋盐的 重量为500克。为检查机
8、器的工作情况，某天随机 抽取4袋，测得样本均值x.= = 495 3克，样本均方差 s.= = 3 7克.问在显著性水平. = = 0 05下，包装机该天 的工作是否正常？ . t( ).,= = 0 025 33 1824 . t( )= = 0 05 32 3534 南京林业大学应用数学系许永平 解检验假设 H = = 0 500：H 1 500： 原假设为真时,()() X t n S n 500 1 所以拒绝域为X t (n) S n 500 1 南京林业大学应用数学系许永平 . x .t( ). s n = = 0 025 500 2 540533 1824 由于统计量的值勤 落在拒绝域外，因此在 水平下，. = = 0 05 可以认为包装机该天的工作正常.
