《柔性臂振动系统角速度反馈控制的最优指数衰减率问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《柔性臂振动系统角速度反馈控制的最优指数衰减率问题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、柔性臂振动系统角速度反馈控制的 最优指数衰减率问题3 于景元 (北京信息与控制研究所 100037) 王耀庭 李胜家 (山西大学数学系) 摘 要 讨论柔性臂的端点角速度反馈控制问题。通过对系统特征值和特征函数的渐近表示式的进一 步研究,用特征扰动的Payley- W iener稳定性理论,证明了该系统的最优指数衰减率可由系统的谱来 确定。 关键词 Euler- Bernoulli梁,R iesz基,指数稳定,最优指数衰减率 分类号 O 175. 21 Opti mal Exponential Decay Rate on the Flexible Beam with Angular Veloci
2、ty Feedback Control Yu J ingyuan (Beijing Institute of Information and Control) W ang Yaoting,L i S hengjia (ShanxiU niversity) Abstract The problem of angular velocity feedback control caused by a flexible beam on a vibrating system is discussed. The stability iswell known, but the opti mal exponen
3、tial decay rate on the system is new.In order to determ ine the decay rate, an assistant system as a basic system is introduced, and the system is considered as a perturbation of the assistant system. By the Payley- W iener stability the2 ory, it is proved that a set of the eigenvectors of the syste
4、m form a R iesz basis of the state space.So the spectrum of the system is determ ined, and the opti mal decay rate can be determ ined by the spec2 trum of the system. Key words Euler- Bernoulli beam, R iesz basis, exponential stability, opti mal exponential decay rate 1 引 言 近年来,人们对柔性、 弹性系统 m ytt(x,t
5、 ) + E Iyxxxx(x,t) = 0 0 0 Y(0) =Y0 Y0=(y1,y2) T VL 2(0, 1) (5) 2 辅助系统特征值的分布 和特征函数表示 系统(3)或(4)的特征方程为 (x ) + 2N0 时,nj是 1() = 0的单根。 下面给出特征问题(15)的特征函数的渐近表 示公式。 由引理3可得如下结果: 引理4 特征问题(15)的特征函数可渐近表示 为 n1(x,vn1 ) = 2i (e3vn1+ e2vn1 )e 1vn 1x- (e 3vn 1+ e (1-4)vn 1 )e 2vn 1x- (e 2vn 1+ e (1-4)vn 1 )e 3vn 1x+
6、 (e (1+3)vn 1+ e (1+2)vn 1 )e 4vn 1 (x - 1) + O K vn1 ,x0, 1,n= 1, 2,(18) 其中,1= e 3 4i,2= e 5 4i,3= e i 4,4= e- i 4。 n2(x,vn2 ) = -2i (e3 vn 1+ e2vn1 )e 1vn 1x- (e 3vn 1+ e (1-4)vn 1 )e 2vn 1x- (e 2 n1 + e (1-4)vn 1 )e 3vn 1x+ (e (1+3)vn 1+ e (1+2)vn 1 )e 4vn 1 (x - 1) + O K vn2 ,x0, 1,n= 1, 2,(19)
7、其中,1= e 5 4i,2= e 3 4i,3= e- i 4,4= e i 4。 并且存 在一个常数M0 0,使得对每个特征函数nj(x ), 有 不等式 nj(x,vnj) M0 nj(x,vnj) M0n, j= 1, 2, n= 1, 2, (20) 证明略。 4 Riesz基 由引理2知nj(x,nj ) 是(8)对应于特征值 nj的特征元,所以nj(x,nj ) 是相互直交的,且 构成L 2(0, 1) 和V0的正交基。 因 0(x ) = 1 2 x 2 是系 统(3)的对应于特征值 0= 0的特征元,显然V L 2(0, 1) = V0L 2(0, 1) + ax 2 0。
8、不妨设 nj= 1;j= 1, 2;n= 1, 2,。 可以验证0, 0 第15卷 第2期于景元等:柔性臂振动系统角速度反馈控制的最优指数衰减率问题143 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 和 1 2nj (nj,njnj) T 构成VL 2(0, 1) 的标准正 交基。 由引理4知nj(x,vnj ) 是系统(2)的特征元。 容易验证 7nj= 1 2nj (nj,njnj) T (j= 1, 2;n= 1, 2,)是系统(5)的特征元。 定理1 对系统 (5), 当0 K 0和一个
9、自然数N0,使得系统(5)的特征元7nj 和系统(4)的特征元满足 n=N 0 2 j= 1 7nj-5nj22M n=N 0 1 n2 (21) 证明 由引理2和引理4知,存在N01,当 nN0时,nj是系统(21)的特征函数,且有 7nj-5nj= 1 2nj (nj,njnj) T - 1 2nj (nj,njnj) T = 1 2nj (nj-nj ), nj(nj-nj) T + nj-nj 2njnj nj, njnj-njnj 2njnj nj T (22) 由引理2和引理4,经计算得 1 0 (n1(x ) - n1(x) (n1(x ) - n1(x )d xM n2 (23
10、) 所以 n=N 0 2 j= 1 7nj-5nj22K1 n=N 0 1 n2 (24) 定理2 存在一个0: 0 0 +,使当0 K0时,系统(21)的特征元张成VL 2(0, 1) 的 R iesz基。 证明 由引理3知,存在一个自然数N1,当n N1时,nj(j= 1, 2;n=N1,N1+ 1,)是系统 (5)的简单特征值。 由定理1,存在自然数N2,使得 n=N 2 2 j= 1 7nj-5nj2=0 0,当0K0时,系统 (5)在以 0= 0和 nj为圆心(nN2 ), 0为半径的 圆内只有一个简单特征值,且 nj=nj+O(K)。 由 引理4中 nj的表达式知,当K适当小时,有
11、 N 2- 1 n= 1 2 j= 1 7nj-5nj2=1 1 -0 因此,有 n= 1 2 j= 1 7nj-5nj21+0 1 由Payley - W iener定理10, 7nj是VL 2(0, 1) 的一个R iesz基。 由定理2可得本文的主要结论: 定理3 系统(5)生成的C0半群的最优指数衰 减率可由下式计算。 0= SupRe, (A ) (25) 参 考 文 献 1 Chen G, Krants S G, M a D Wet al.The Euler- Bernoulli beam equation w ith boundary energy dissipa2 tion.I
12、n: OperatorM ethods for Opti mal Control Prob2 lem s . N ew York: M arcel- Dekker, 1987.67- 96 2 Chen G, DelfourM C, KrallA Met al. M odeling, sta2 bilization and control of serially connected beam.SI AM J ControlOpti m, 1987, 25(3): 526- 546 3 Chen G, Krants S G, Russell D Let al. A nalysis, de2 si
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14、.J M ath Appl, 1989, 137 (2): 288- 295 6 Conrad F, M orgiil O . On the stabilization of a beam w ith a tip mass . SI AM J ControlOpti m, 1998, 36(6): 1934- 1963 7 Rebarber R.Exponetial stability of coupled beam s w ith dissipative joints: A frequency domain approach.SI AM J ControlOpti m, 1995, 33:
15、1- 28 8 Yu J Y, L i S J, Zhu G T.The stability of the ti me varable elastic system.Science in China,Series E, 1996, 39(1): 92- 102 9 M A纳依玛克著.王志成译.线性微分算子.北京:科学 出版社, 1964 10 R iesz F, N agy B S.Functional analysis . N ew York: U ngar, 1955 作 者 简 介 于景元 男, 1937年生。北京信息与控制研究所研究 员,博士生导师。研究方向为复杂系统等。 王耀庭 男, 1958年生。山西大学数学系讲师。研究方 向为分布参数控制系统等。 李胜家 男, 1956年生。山西大学数学系教授。研究方 向为分布参数控制系统,微分方程应用等。 144控 制 与 决 策2 0 0 0年 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
