第2章 模糊控制论

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1、第2章 模糊控制论,2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用,2.1引言,所谓“模糊”，其意思是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不分明。 在生产实验中，存在着大量的模糊现象，对于那些无法获得数学模型或模型粗糙复杂的、非线性的、时变的或是耦合十分严重的系统，无论用经典控制，还是现代控制理论的各种算法、都很难实现控制。,比如,例如,2.1引言,我们把人的操作经验归纳成一系列的规则，存放在计算机中，利用模糊集理论将它定量化，使控制器模仿人的操作策略，这

2、就是模糊控制器，用模糊控制器组成的系统就是模糊控制系统。 模糊控制定义： 模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。,2.1引言,测量信息的模糊化是将实测物理量转化为在该语言变量相应论域内不同语言值的模糊子集。 推理机制使用数据库和规则库，它的作用是根据当前的系统状态信息来决定模糊控制的输出子集。 模糊集的精确化计算是将推理机制得到的模糊控制量转化为一个清晰、确定的输出控制量的过程。,模糊化,推理机制,精确化,被控对象,数据库和规则库,给定值,+,-,模糊控制系统结构示意图,2.2模糊集合论基础,2.2.1模糊集的概念,经典集合（非此即彼） ：一般指具有某种属性

3、的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。 基本集合或论域(U):把所考虑的对象限制在一个特定的集合，比如一个班级、自然数等。 U的子集A：U中的一部分 U中的元素u：U中的对象 U的基数（ 或#U）：有限集合U所含的不同元素的数目。 无限集合：不是有限集合的集合。,经典集合的表示方式：,列举法 定义法 适用于有很多元素而不能一一列举的集合： 例如：U=u u为自然数且u5 归纳法 通过一个递推公式来描述一个集合 例如：U=ui+1=ui+1，i=1，2，u1=1 特征函数表示法 通过某些集合的运算来表示的集合,隶属度函数,以人对室温（0-40）的感觉为例： 大部分人： 15-25-舒适 15以

4、下-冷 25以上-热 按照经典集合论，14.9 也为冷，不符合人的感觉。,而我们可以认为14.9 属于冷的程度为0.1，1 属于冷的程度为0.95. 因此,我们可以用一个在0-1之间取值的函数来表 示一件事属于我们所考虑的事件的程度,这个函数就 叫隶属度函数。,6,定义为有序对； 隶属函数在0和1之间； 其值的确定具有主观性和个人的偏好。,隶属函数的性质,定义2-1 模糊集合(fuzzy sets),论域U中的模糊集F用一个在区间0,1上取值的隶属 函数F来表示, 即 F : U0,1 F(u)=1, 表示u完全属于F F(u)=0, 表示u完全不属于F 0F(u)1, 表示u部分属于F,论域

5、U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表示：,若U为连续域，则可写成： 例2-2 设F表示远远大于0的实数集合，求F的隶属度函数。 解：,可以算出F(5）=0.2， F(10）=0.5， F(20）=0.8,定义2-2 支集（support） 模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足F（u）0的所有u组成的，即 定义2-3 模糊单点（singleton） 如果模糊集合F的支集在论域U上只包含一个点u0,且 F（u0）=1，则F就称为模糊单点。即,年龄,隶属函数,1.0,0.5,45,90,若U为离散域，其表示方法为： 1.扎德表示法 例2-3 考虑论域U=0，1，2，10和模糊集

6、“接近于0的整数”。求模糊数F的离散隶属度函数扎德表示法。 解：F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5 2.序偶表示法 F=(u1，（u1）)，（u2，（u2）) ， ，（un，（un）) 则上例：F=(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1),3.向量表示法 F=（u1）,（u2）, ,（un） 上例：F=1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1 注意：向量表示法中元素要按次序排列，隶属度值为零的项不能省略。,2.2.2模糊集合的运算,定义2-4 模糊集合相等 若有两个模糊集合A和B，对于所有 的uU

7、,均有 ，则称模糊集合A与模 糊集合B相等，记作A=B. 定义2-5 模糊集合包含 若有两个模糊集合A和B,对于所有 的uU,均有 ，则称模糊集合A包含 于模糊集合B，或称A是B的子集，记作A B. 定义2-6 模糊空集 若对于所有uU,均有 ，则称A 为模糊空集，记作A= 定义2-7 模糊全集 若对于所有uU,均有 ，则称A 为模糊全集 。,模糊集合运算,定义2-8 模糊集合的并集 若有三个模糊集合A、B 和C，对于所有的uU，均有 = =max( , ) 则称C为A与B的并集. 记为CAB。 定义2-9 模糊集合的交集 若有三个模糊集合A、B和 C，对于所有的uU，均有 = =min( ,

8、 ) 则称C为A与B的交集.记为CAB。 定义2-10 模糊集合的补集若有两个模糊集合A和B， 对于所有的uU,均有 B(u)=1-A（u） 则称B为A的补集，记为,例2-4 P19,定义 设 A,BF(U), 则,A与B的代数积记为A B,其运算规则为,2) A与B的代数和记为A B,其运算规则为,定义 设A, BF(U),则,2) A与B的有界和记为A B, 运算规则为,2.2.3模糊集合运算的基本性质,1）幂等律 AA=A AA=A,2）结合律 A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C,3）交换律 AB= BA AB= BA,4）分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(

9、AB)(AC),5) 同一律 AU=A, A =A,6) 零一律 A = , AU=U,定理2-1 设U为论域，A, B, C为U中的任意模糊子集，则有：,7) 吸收律 A(AB)=A, A(AB)=A,8) 摩根定律,9) 双重否定律,10) 互补律不成立,2.2.4 隶属度函数的建立,模糊集合是用隶属度函数来描述的,所以隶属度函数在模糊控制中是很重要的。,一般来说,要按下面几个原则来确定隶属度函数. 表示隶属度函数的模糊集合必须是凸集合. 隶属度函数通常应该是对称和平衡的 隶属度函数要符合语义自然顺序和避免不恰当的重叠 隶属度函数的选择需要考虑重叠指数,几种确定隶属度函数的方法,1 模糊统

10、计法 对论域上的一个元素u是否属于一个集合A作出判断.,比如对年轻人这个模糊集A.不同的人可能会有不同的 划分,例如18-28岁, 20-30岁,20-35岁.那么22岁属于模糊集A的隶属频率为=3/3=1 这样就可以得到：,2 例证法 比如设全体人为论域U, 模糊集A表示高个 人, 例如高180, 175, 170, 165的人属于高个人这个 模糊集的程度用 “真的” “大致真的” “似真似假” “大致假的” “假的”五种语言值来判断. 分别用 1, 0.75, 0.5, 0.25, 0来表示.那么有,3 专家经验法 这种方法是工程实践中常用的一种方法. 一般来说,是根据专家的实际经验,对模

11、糊信息作出判断,给出它的隶属度函数值. 例如:炉温控制. 设定温度为20度,专家的经验判断, (21)=0.2,(23)=0.3,(30)=1 等,4 二元对比排序法 这种方法通过对多个事物之间的 两两对比来确定这些事物对某个特征的隶属函数。 我们主要介绍比较实用的相对比较法。,设ui相对于uk具有某种特征的程度为guk(ui), 设uk相对于ui具有某种特征的程度为gui(uk),论域U中的元素u1, u2, un, 一对元素(ui, uk), 作对比，（i, k=1,2, , n）,令,设i=k时, g(ui/uk)=1. 那么可以得到一个相及矩阵,对G的每一行取最小值,即 gi=ming

12、(ui/u1), g(ui/u2),g(ui/un) 于是可以得到u1,u2,un对某特征的隶属函数.,例2-5: 设论域U=(u1,u2,u3,u0), u1=长子, u2=次子, U3=三子, u0=父亲. 考虑相似问题.,1 长子和次子与父亲相似来说, 设长子与父亲相似 的程度为0.8, 次子与父亲相似的程度为0.5,2次子和三子与父亲相似来说, 设次子与父亲相似 的程度为0.4, 三子与父亲相似的程度为0.7,3 长子和三子与父亲相似来说, 设长子与父亲相似 的程度为0.5, 三子与父亲相似的程度为0.3,按谁象父亲这个原则来排序,有,在上面的相及矩阵中,每行取最小值,得到 1 3/5

13、 4/7 得到结论长子最像父亲(1),三子次之(0.6),次子最不像 父亲(0.57).,隶属函数的大体形状也就知道了,几种典型的隶属函数 在Matlab中已经开发出了11种隶属函数，即双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数（gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。,在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种隶属函数。 （1）高斯型隶属函

14、数 高斯型隶属函数由两个参数 和c确定： 其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为,图 高斯型隶属函数（M=1）,(2) 广义钟型隶属函数 广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定： 其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为,图 广义钟形隶属函数（M=2）,(3) S形隶属函数 S形函数sigmf(x,a c)由参数a和c决定： 其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为,图 S形隶属函数（M=3）,（4）梯形隶属函数 梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定： 其中参数a和d确定梯

15、形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。 Matlab表示为：,图 梯形隶属函数（M=4）,(5)三角形隶属函数 三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定： 其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。 Matlab表示为,图 三角形隶属函数（M=5）,（6）Z形隶属函数 这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为,图 Z形隶属函数,2.2.5模糊关系,1.模糊关系的定义 定义2-11 所谓A,B两个集合的直积 AB=(a,b)|aA,bB 中的一个模糊关系R，是指以AB为论域的一个模糊子集，序偶（a,b）的隶属度为R(a,b). 模糊关系的表示： （1）模糊集合表示法 当AB为连续有限域时，二元模糊关系R的模糊集合表示方法为：,可以推广至n维,例2-6 设论域U=1, 5, 7, 9, 20 ,现在来求U上的”大得多” 的关系R.,序偶(20, 1)中,20远大于1,所以认为它隶属于”大得多” 的程度为1.,序偶(9, 7)中,9靠近于7,可以认为它隶属于”大得多” 的程度为0.1.,用类似的考虑,可以得到模糊关系R,（2）模糊矩阵表示法 当 是有限集合时，则 的模糊关系R可用 阶矩阵来