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1、1,第四篇 振动和波动,2,不同的振动现象具有一些共同的物理特性,振动与波动都是自然界最常见的运动形式,各种波具有的共同特性称为波动性,水面波,超声波胎儿图像,光导纤维传导光波,心电图,座钟的钟摆,卫星绕月周期运动,特征：重复性、周期性,3,只要一个物理量在一定的平衡值附近发生周期性的变化，都可认为该物理量在作振动,振动,4,第十二章 振动,5,*12-5 两个相互垂直的简谐振动的合成,12-4 一维简谐振动的合成 拍现象,*12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,12-2 简谐振动的能量,12-1 简谐振动,12-6 振荡电路 电磁振荡,6,12-1 简谐振动,一、谐振动,作简谐振动的物体称为谐
2、振子。 （最典型的例子是弹簧振子的运动）,简谐振动是最基本的振动: 任何复杂的振动都可认为是由几个或多个简谐振动合成,简谐振动,7,弹簧振子 系统,轻弹簧刚性物体,胡克定律,弹性力大小,坐标x 为物体相对于平衡位置的位移,8,平衡位置 物体受合力为的位置,谐振动 定义：弹簧振子系统在平衡位置附近位移不太大，沿直线周期性来回往复运动。,原长？,坚直？,水平弹簧振子,弹簧原长（坐标原点）,9,谐振动方程,即,令,受力回复力 牛顿第二定律,为积分常数,*,求解得运动方程：,10,物体所受合外力大小F = -kx 的运动为简谐振动,d. 简谐振动定义,令,加速度与位移成正比且方向相反的振动为简谐振动,
3、位移是时间的余弦（正弦）函数的运动为简谐振动,简谐振动的微分方程,解为,简谐振动方程,11,e谐振动物体的速度及加速度,12,二. 简谐振动的振幅、周期及频率,振幅 A,周期 T,物体作一次完全振动所需的时间，单位 s,频率 v,单位时间内所作完全振动的次数，单位 Hz,角(圆)频率,秒内物体作全振动的次数,单位 rad/s 或 s-1,13,简谐振动方程可以表示为,振动周期和频率可以表示为,固有周期,固有频率,伽利略曾观察的比萨教堂的吊灯,14,符合定义的几种简谐振动模型,竖直弹簧振子,平衡时,振动方程,15,三. 谐振动的相位、初相和振幅的决定,确定 t 时刻振动物体位置和运动方向,相位,
4、t = 0 时的相位,初相,由初始条件确定A和,设 t = 0 时，,振幅,16,由 给出 的两个可能值,由 的正负号，确定 的值,初相 的决定,17,例12- 弹簧振子从平衡位置向正方向运动，振幅为，经过，其位移如何？,解:,18,19,解：设运动方程：,由图：A=2m,t = 1：,t(s),例12-2：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图， 试根据图中数据写出振动表达式。,t = 0：,20,2.旋转矢量法(振幅矢量法),21,例12-3 用旋转矢量法求简谐振动物体在下列情况的初相. (1)起始时, 物体具有负最大位移.(2)t=0时, 物体在平衡位置且向负向运动. (3)t=0时, 物体
5、的位移为A/2且向正向运动.,解:,22,旋转矢量 与谐振动的对应关系,23,例12-4设质点在Ox轴上作谐振动，振幅为A。若某时刻 t 测得质点的位移 ，向Ox轴负方向运动。求该时刻质点振动的相位。,作旋转矢量图，t 时刻 质点振动的相位,解1 旋转矢量法,解2 解析法,24,解：作t = 0时刻的旋转矢量,作x = -12cm处的旋转矢量,12,-12,25,谐振动的基本问题： 证明物体做谐振动（满足三个定义之一） 写运动方程（确定 ）,例12-6 一轻弹簧振子水平放置， m = 0.40kg，当它受力为 F = 810-3 kg 时伸长量为 x= 4.9cm。就下列情形分别求谐振动方程,
6、（1）将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后释放。,（2）将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给物体以 向左的速度0.20m/s释放。,26,解：小球受力为 F = - k x ： 小球作简谐振动,（1）,27,（2）,应取,28,例12-7例P29 12-13,解:,平衡时:,任意时:,满足作谐振动的定义式,故物体作谐振动。,29,k,30,15-2 简谐振动的能量,简谐振动系统机械能守恒,31,32,33,例12-8:谐振动物体m=0.02kg,当其经平衡位置时,v=0.6m/s,问其位移为A/2时,解:,34,例12-9 弹簧的倔强系数为k, 一端固定, 另一端连一质量为M的
7、物体,其振幅为A. 在下列两种情况下, 一块质量为m的粘土从h高处自由落下,正好落在M上,问(1)振动周期有何变化? (2) 系统的能量有何变化? 情况之一: 粘土是在M通过平衡位置时落至M; 之二, 粘土是在M位于最大位移处落至M.,解:振动系统为弹簧+(M+m) 振动周期取决于系统, 故在两种情形(M+m)系统振动周期都相同.,因能量与振幅的平方成正比, 所以核心是根据初始条件定出A.,35,m 粘上M之前: 水平速度 m为0, M为,m粘上M之后: (M+m)水平速度为v .,t=0时,情形一: 略去摩擦, M+m系统在水平方向动量守恒,之一:m是在M通过平衡位置时落至M,36,情形二:
8、 略去摩擦, M+m系统在水平方向动量守恒,m 粘上M之前: 水平速度 m为0, M为0.,之二:m是在M位于最大位移处落至M.,m 粘上M之后: (M+m)水平速度为v.,t=0时,有,37,例:弹簧的串并联,弹簧的串并联与电阻串并联相反 截取一截弹簧,其中一断KK原长,38,一. 阻尼振动,能量衰减,不等幅的振动,12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,例:摆动的秋千、单摆,阻尼振动的周期,谐振动：理想的等幅能量不衰减速的振动。,39,使振动能量减少的原因：,1（振动系统所受）摩擦阻力的作用 2一部分能量转变为波的能量（由于振动系统在弹性媒质中引起波动）向四周辐射,二. 受迫振动,系统在周期性
9、外力作用下发生的振动,无周期性外力作用下发生的振动-自由振动,例：音叉,敲击之后，音叉发生振动-自由振动 电磁铁使音叉振动-受迫振动,（电磁周期性变化供给音叉周期性外力）,40,三、共振,周期性外力频率 振动系统固有频率,受迫振动振幅,共振,41,长850米、宽12米的美国华盛顿州Tacoma Narrows 桥，于1940年，在通车几个月后，由凌晨的风引起大幅摆动因共振而垮塌,42,振幅,初位相,一质点同时参与两个同方向、同频率简谐振动,合振动位移,一、两个同方向、同频率简谐振动的合成,12-4 一维简谐振动的合成 拍现象,43,1. 相位相同,2. 相位相反,3. 一般情况下,相位差 的影
10、响,44,合振动的强弱与两分振动相位差的关系,45,例题 12-10 物体同时参与N个同方向、同频率的谐振动，其振幅都等于a，每相邻二振动的相位差都等于 成等差级数。求合振动振幅。,解,设N个简谐振动的振动方程为,旋转矢量表示,可以证明 内接于同一圆弧。,46,合振动的振幅,其中,47,48,二、两个同方向、不同频率的简谐振动的合成 拍现象,两个同方向、不同频率的简谐振动可表示为,合振动的位移为,若 |w1 - w2| w1 + w2,合振动可看作角频率为,振幅为,49,合成后振幅时大时小的现象，称为拍,拍频,w拍 =|w2 w1|,拍的周期,双簧管的两个簧片的频率相差无几，能产生悦耳的拍音,
11、哨片,双簧管,50,一、两个互相垂直的、同频率的简谐振动的合成,两个互相垂直、同频率的简谐振动可表示为,合振动的轨道方程,为一椭圆,*12-5 两个互相垂直的简谐振动的合成,51,轨道是过原点斜率为 的直线,1. 两振动相位差 时，轨道方程为,质点简谐振动振幅为,52,2. 两振动相位差 时，轨道方程,质点简谐振动振幅为,轨道是过原点斜率为 的直线,53,3. 两振动相位差 时，轨道方程,其轨道是一以坐标轴为主轴的椭圆，质点在椭圆上沿顺时针方向运动,54,4. 两振动相位差 时，轨道方程,其轨道是一以坐标轴为主轴的椭圆，质点在椭圆上沿逆时针方向运动,55,二、两个互相垂直的、不同频率的简谐振动
12、的合成,李萨如图形,56,称为电磁振荡,最简单的振荡电路 LC 振荡电路,电容器开始放电前一瞬间,I = 0,Wm= 0,C,L,+ + + + + +,- - - - - -,q0,一、LC 振荡电路振荡过程,12-6 振荡电路 电磁振荡,电路中电压和电流（或电荷）的周期性变化,产生电磁振荡的电路称为振荡电路,57,LC电路的充、放电过程,q0,- - - -,q0,58,当电容器极板上带电量为 q，电路中电流为 I 时,线圈的自感电动势为,不计电路中内阻时，有,二、LC 振荡电路振荡过程的定量描述,电容器两端电势差为,59,代入,并令,所以电磁振荡是简谐振动,得,简谐振动微分方程,解为,并
13、得,电流的振幅,60,1. 电荷和电流都随时间作周期性变化,周期和频率分别为,角频率为,三、无阻尼电磁振荡的特点,电流比电荷的相位超前,设初相,电荷振幅和电流振幅都不变，称为等幅振荡,61,电感线圈中的磁场能,总能量为,2. 振荡过程中的能量转换,电容器中的电场能,称为无阻尼自由振荡,振荡过程中没有能量耗散,62,LC 电路的振荡周期,弹簧振子的振动周期,3. LC 电路电磁振荡和弹簧振子简谐振动的比较,LC 电路,弹簧振子,对应关系,x v m k,位移 速度 质量 动能 势能,劲度系数,电荷 电流 电感 电容 磁能 电能,q I L,机械振动规律可推广到电磁振荡,63,耗散焦耳热以及电路辐射电,四、阻尼振荡和受迫振荡,在电路中加一周期性变化的外加电动势，就可以维持振荡的振幅不变，称为受迫振荡,形成阻尼振荡或减幅振荡,磁波使电磁振荡能量减少，,实际电路中因存在电阻,
