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1、材料力学材料力学 3-1 扭转的概念和实例 扭转的概念和实例 3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3-3 纯剪切 纯剪切 3-4 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的应力 3-5 圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形 3-7 非圆截面杆扭转的概述非圆截面杆扭转的概述 第3章 扭 转第3章 扭 转 材料力学材料力学 3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例 汽车的转向轴汽车的转向轴 材料力学材料力学 直升机的旋转轴直升机的旋转轴 材料力学材料力学 材料力学材料力学 受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用
2、面垂直于杆的轴线。 杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 二、扭转的概念二、扭转的概念 受扭转变形杆件 通常为轴类零件，其 横截面大都是圆形 的。所以本章主要介 绍 受扭转变形杆件 通常为轴类零件，其 横截面大都是圆形 的。所以本章主要介 绍圆轴扭转圆轴扭转。 材料力学材料力学3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算 直接计算直接计算 材料力学材料力学 按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算 电机每秒输入功：电机每秒输
3、入功： 外力偶作功完成：外力偶作功完成： )mN(1000= PW 60 2 n MW e = 已知 轴转速 已知 轴转速n 转/分钟 输出功率 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩 千瓦 求：力偶矩Me m)(N9550= n P M e 材料力学材料力学 二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 m m 0, 0= mTm x T 1、扭转杆件的内力（截面法）1、扭转杆件的内力（截面法） x m m mT = T x 取右段为研究对象：取右段为研究对象： 0, 0= Tmm x mT = 内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩T 取左段为研究对象：取左段为研究对象： 材料力学材料力
4、学 2、扭矩的符号规定：2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方 向，若其矢量方向 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方 向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为 正值，反之为负值。 ，则扭矩规定为 正值，反之为负值。 材料力学材料力学 3、内力图（扭矩图）3、内力图（扭矩图） 表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 扭矩图扭矩图作法：同轴力图。 例1 一传动轴如图，转速 作法：同轴力图。 例1 一传动轴如图，转速n = 300r/min；主
5、动轮输入的功率；主动轮输入的功率 P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为：，三个从动轮输出的功率分别为：N2= 150kW， N3= 150kW，N4= 200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 材料力学材料力学 1、计算作用在各轮上的外力偶矩1、计算作用在各轮上的外力偶矩 mkN9 .15mN) 300 500 1055. 9( 3 1 =M mkN78. 4mN) 100 150 1055. 9( 3 32 = MM mkN37. 6mN) 300 200 1055. 9( 3 4 =M 解：解： M1 M2M3M4 ABCD 材料力学材料力学 2、分别计算各段的扭矩2、分别计
6、算各段的扭矩 mkN78. 4 21 =MT m9.56kN 322 = =MMT mkN37. 6 43 = MT 2 2 1 1 3 3 M1 M2M3M4 ABCD T1 1 1 x M2 A T2 A M2 B M3 2 2 x T3 3 3 D M4 x 材料力学材料力学 扭矩图扭矩图 Tmax=9.56kNm，在，在BC段内。段内。 M1 M2M3M4 ABCD 4.78 9.56 6.37 T 图图(kNm) mkN78. 4 1 =Tm9.56kN 2 =TmkN37. 6 3 =T 材料力学材料力学 传动轴上主、从动轮安装的位置不同， 轴所承受的最大扭矩也不同。 传动轴上主、
7、从动轮安装的位置不同， 轴所承受的最大扭矩也不同。 扭矩图的简捷画法扭矩图的简捷画法扭矩图的简捷画法：扭矩图的简捷画法： 扭矩图的特点：突变值 = 外力偶矩扭矩图的特点：突变值 = 外力偶矩 自左向右自左向右 ?遇到向上的遇到向上的M， 扭矩， 扭矩T 增加增加M； ?遇到向下的遇到向下的M， 扭矩， 扭矩T 减少减少M； ?无外力偶矩作用，画水平线。无外力偶矩作用，画水平线。 材料力学材料力学 mxMT A = = mlM A = = （m轴单位长度内的力偶矩）例2 试分析图示轴的扭矩轴单位长度内的力偶矩）例2 试分析图示轴的扭矩 )(xlmT = = 1、求约束反力 2、截面法求扭矩 解：
8、 1、求约束反力 2、截面法求扭矩 解： 材料力学材料力学 3-3 纯剪切纯剪切 一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1、实验：1、实验： 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；两端施以大小相 等方向相反一对力偶矩。 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；两端施以大小相 等方向相反一对力偶矩。 0 10 1 rt , r0：为平均半径：为平均半径） (壁厚(壁厚 材料力学材料力学 2、变形规律：2、变形规律： 圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方
9、格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 , 0=Q 00Q 0= 横截面上横截面上 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。 根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。 根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布； ,Dt Q D t 材料力学材料力学 3、切应力的计算公式：3、切应力的计算公式： 2. 2 0 2 0 2 00 trtdrrdAT A = tr T 2 0 2 = d 薄壁圆筒横截面上的切应力计算式薄壁圆筒横截面上的切应力计算式 材料力学材料力学 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁
10、圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体 zydd zxdd x y z a b O c d dx dy dz 0= y F 0= z M = 自动满足自动满足 0= x F ()()yzxxzydddddd= 存在存在 得得 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 Me Me 材料力学材料力学 = 切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为 单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态 纯 剪切应力状态。 da bc x y z a b O c d dx dy dz 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对
11、出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 材料力学材料力学 三、切应变剪切胡克定律三、切应变剪切胡克定律 l 在切应力的作用下,单元 体的直角将发生微小的改变， 这个改变量 在切应力的作用下,单元 体的直角将发生微小的改变， 这个改变量 称为切应变。称为切应变。 为扭转角为扭转角 lr= 0 =即 l r 0 做薄壁圆筒的扭转试验可得做薄壁圆筒的扭转试验可得 = tr T T 2 0 2 = l r 0 材料力学材料力学 剪切胡克定律：剪切胡克定律： , p )1 (2+ =
12、 E G 在弹性范围内切应力与切应 变成正比关系。 在弹性范围内切应力与切应 变成正比关系。 G= 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲 与 的量纲 与 相同。相同。 各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：各向同性材料，三个弹性常数之间的关系： 材料力学材料力学 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力 实验：实验： 1、几何关系1、几何关系：由实验找出变形规律应变的变化规律由实验找出变形规律应变的变化规律 观察变形规律：观察变形规律： 圆周线圆周线形状、大小、间 距不变
13、，各圆周线只是绕轴 线转动了一个微小的角度。 形状、大小、间 距不变，各圆周线只是绕轴 线转动了一个微小的角度。 纵向线纵向线倾斜了同一个微 小角度，小方格变成了平行 四边形。 倾斜了同一个微 小角度，小方格变成了平行 四边形。 材料力学材料力学 扭转平面假设扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且 形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。 变形前的横截面，变形后仍为平面，且 形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。 剪应变的变化规律剪应变的变化规律： tg x dd d = xd d = 取楔形体取楔形体O1O2ABCD为研究对象为研究对象 D 微段扭转 变形d 微段扭转 变形d dx
14、Rd dx DD tg = d / / dx扭转角沿扭转角沿x轴的变化率轴的变化率 材料力学材料力学 G= dx d GG = 方向垂直于半径方向垂直于半径 P max 弹性范围内弹性范围内 2、物理关系：2、物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律由应变的变化规律应力的分布规律 由剪切胡克定律 距圆心为 由剪切胡克定律 距圆心为处的切应力：处的切应力： 材料力学材料力学 =AT A d AI Ap d 2 =令令 x GI T p d d = 代入物理关系式得：代入物理关系式得： x G d d = 圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式 p GI T
15、x = d d A x G A d d d 2 = 扭转变形计算式扭转变形计算式 3、静力关系：3、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计 算公式 由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计 算公式 O dA p I T = 材料力学材料力学 横截面上横截面上 t P P W T I T I T = max maxmax 抗扭截面模量抗扭截面模量， 整个圆轴上等直杆： ， 整个圆轴上等直杆： t W Tmax max = 三、公式的使用条件三、公式的使用条件 1、等直的圆轴； 2、弹性范围内工作。1、等直的圆轴； 2、弹性范围内工作。 Ip截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位： 二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定 44 , mmm ., 33 mmm单位单位： max p t I W = t W 材料力学材料力学 四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wt = A AId 2 p 16 2/ 3 p t D D I W= )d2( 2 0 2 = D 32
