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1、第三章自适应阵最优化处理第三章自适应阵最优化处理 稳态性能极限与维纳解稳态性能极限与维纳解 稳态性能极限稳态性能极限：是一种稳定状态性能的量度，对一种设计目标 或期望所能完成的限度。 自适应阵列处理的目的是优化阵列的输出，这种优化有一 定的目标和评价的准则。例如 ：是一种稳定状态性能的量度，对一种设计目标 或期望所能完成的限度。 自适应阵列处理的目的是优化阵列的输出，这种优化有一 定的目标和评价的准则。例如 1）以输出信号和期望的参考信号误差为标志的最小均方误 差准则； ）以输出信号和期望的参考信号误差为标志的最小均方误 差准则； 2）在确保所需信号无衰减接收的情况下，使输出功率最小 的准则；
2、 ）在确保所需信号无衰减接收的情况下，使输出功率最小 的准则； 3）以输出最大信噪比为准则（目标）的优化）以输出最大信噪比为准则（目标）的优化. 实际系统优化时一般是迭代逐步逼近的一个过程实际系统优化时一般是迭代逐步逼近的一个过程,一般情况 下可以非常接近极限性能。 一般情况 下可以非常接近极限性能。 3.1 复信号：复信号： 采用复信号的好处：实信号的频谱是共轭对称的，从信息 的角度来看，其负谱部分是冗余的，复信号的频谱不存在共 轭对称性，信号占有的频带减小了一半，有利于无线通信。 采用复信号的好处：实信号的频谱是共轭对称的，从信息 的角度来看，其负谱部分是冗余的，复信号的频谱不存在共 轭对
3、称性，信号占有的频带减小了一半，有利于无线通信。 1、解析信号：、解析信号： )()()( x(t) )(a(t)cosS(t) Z(t) tjxtstZ t += = 作其虚部。即：号” 一“虚拟信作其实部，并另外构造号 给定的实信的最简单的方法是用所表达复信号 ) 1 . 1 . 3( )( )()( )( tj etatZ tZ = 的极坐标形式： )2 . 1 . 3( )( )( )( )()()( 22 ts tx arctgt txtsta = += 则立即有： (3.1.3) (3.1.4) a(t)是复信号Z(t)的瞬时幅值，(t)称为瞬时相位。如果Z(t) 频谱为 Z(f)
4、=S(f)+X(f) (3.1.5) 由于复信号Z(t)具有单边谱，而实信号具有共轭对称谱，所 以很自然要求虚拟信号x(t)应该具有共轭对称谱。这意味着 复信号z(t)的频谱： = 0 0 )6.1.3(0 )( 0)(2 )( f ffS ffS fZ 式中S(f)是实信号s(t)=a(t)cos(t)的频谱,令H(f)为奇对称 阶跃式传递函数： = 0 1 )7.1.3( 0 0 01 )( f f f fH 则有（3.1.6）变为 Z(f)=S(f)1+H(f) (3.1.8) 即Z(f)可从S(f)的滤波结果中得到。由式(3.1.8)的Fourier 逆变换知：复信号z(t)为 )(j
5、h(t) ( Fourier fH 设 )9.1.3() ( )( )(1 )( )(*)()()( ts jtsdu ut us jts thtjststz += += += d t s pv thtstsHts = = )(1 )(*)()() ( 式中： 称为实信号s(t)的Hilbent变换，t和为实变量，p.v.表示取积 分主值（因为1/t,t=0时为断点，所以计算积分要分段进行， 并求极限） 显然：(3.1.9)式中h(t)的作用是使信号s(t)变成它的 Hilbert变换，所以H(f)=Fh(t), 称为Hilbert变换器也称 Hilbert滤波器。根据定义： t th t t
6、sd t sts 1 )( 1 *)( )( 1 )() ( = = = 从而 (3.1.10) (3.1.11) 这是这是Hilbert滤波器滤波器(Filter)的的Impulse Response 一般情况下的Hilbert滤波器的传递函数 定义符号函数令 )( )( )()(tsFfStsFfS= 注注 S(f)H(f)(f)S and (f)S jS(f)Z(f) ) ( )()(=+=+=ts jtstZ = 0 1 0 0 0 1 )sgn( f f f f (3.1.12) Hilbert 滤波器的传递函数H(f)=Fh(t)由下式给出： )sgn( )( )( )()( fj
7、 fS fS thFfH= (3.1.13) 在频域起到将负频谱折叠到正频谱的作用。 = = = 0 2 )2sin( 2 )2sin()2cos( )()( df t ft j df t ft jdf t ft dfethfH ftj 证明： )sgn( 0 0 0 0 fj fj f fj = = Hilbert 滤波器的传递函数是一个全通滤波器滤波器的传递函数是一个全通滤波器 0 2 0 2 )( 1|)(| = = f f f fH (3.1.15) (3.1.14) d t s = = += )( )( t 1 h(t)h(t)*s(t)(t) s (t)s js(t)z(t)s(t
8、)小结： 2、基带信号、基带信号 对通信和雷达一类信息系统，常用的信号是实的窄带信号，即 )( 2 1 )(2cos)()( )(2)(2 0 00 ttfjttfj eeta ttftats + += += (3.1.16) 为中心频率，上述窄带信号的正负频率分量 容易分开，负频率分量容易被滤除，保留正频 率部分，并将幅度加倍，即可得到解析信号为 0 f )()( , )()( )( 0 2 2)( 0 0 tj B tfj tfjtj A etatS f e eetats = = 信号为变成零载频，得到一新频。即将载波频率下移 述信号进行解调去载不含信息的载体，对上是载波 (3.1.18)
9、 (3.1.17) 这种零载频的信号称为基带信号(based band signal)或称零 中频信号. 3、解析信号与基带信号的关系：、解析信号与基带信号的关系： )()( 0 2tfj BA etStS = (3.1.19) 基带信号就是解析信号的复包络，它和 一样是复信号 )(tSA 注意：基带信号的中频为零，它既有正频分量，又有 负频率分量, 但是由于它是复信号，其频谱的不具有共轭对称性 质. 因此，若对基带信号剔除负频分量，就会造成有用信号的 损失。 )(tSB 小结：实际系统中所用的实信号，解析信号，基带信号小结：实际系统中所用的实信号，解析信号，基带信号(也也 叫解析信号的复包络
10、叫解析信号的复包络)。 = += = += )( 0 2 )()( )(2cos)()( )()( ) ( )()( 0 tj B tfj BA A etatS ttftats etStS ts jtstS 3.2 实信号的相关矩阵实信号的相关矩阵(correlation matrix) 尽管利用复信号有许多优越之处，但是实际系统中的 信号都是实信号。 在自适应阵系统中，信号和噪声过程一经用统计特性 表述，系统性能即可方便地用其平均情况描述。对平均 情况的估计可直接导出用统计二阶距（如自相关矩阵和 互相关矩阵）有关的有用量。二随机矢量的分量间存在 的相关度，由二矢量间相关矩阵诸元给出，例如具有
11、统 计平稳特性的矢量，X(t)和Y(t)间的互相关矩阵定义为 )()()(=tYtXER T xy（3.2.1） 的自相关矩阵为时延变量，矢量为期望运算， X(t) E )()()(=tXtXER T xx （3.2.2） 倘若信号矢量X(t)是由不相关的所需信号和噪声成分组成, 即 )()()(tntstX+= （3.2.3） 那么 )()()( nnssxx RRR+= （3.2.3） 在分析系统工作情况时，主要是涉及时延变量为零的相关 矩阵，不难明白采用如下的简化符号很方便 Rxx=Rxx(0) (3.2.4) 和 Rxy=Rxy(0) (3.2.5) N维矢量的相关矢量简记为Rxx,即
12、 (3.2.5) )()()()()()( )()()()()()( )()()()()()( 21 22212 12111 = txtxtxtxtxtx txtxtxtxtxtx txtxtxtxtxtx XXERxx NNNN N N T L MMM L L (3.2.6) )( )()( 1 )()()()( 1 yx T xyxx T xx N n nknikiki RRRR txtx N txtxEtXtX = = = 和 ：根据上述定义，立即有 式中 故相关矩阵是对称阵, 一般说来, 自相关矩阵 Rxx仅是半正定阵，其逆矩阵可能不存在。 1 xx R (半正定阵: 特征值都不小于零
13、的实对称阵, det(A)=0, Ai(主子 式)?0, 就是信号中没有噪声时的情况. 实际碰到是信号环境中信号的相关矩阵的估计，来自于 离散时间取样值，所以一个非零带宽信号过程的这种个数足 够多的时间取样可保证矩阵的正定性，而逆矩阵应存在（非 零带宽保证矩阵具有足够的自由度）。 (正定阵: 特征值都大于零的实对称矩阵, 所有主子式都大于零 即Ai0)。 每一个频率分量的信号相当于一个自由度，一般的信号 环境下，信号模型表达式中含有不相关内部噪声（频率成分 很丰富），这时的自相关矩阵为正定矩阵。 然而当一个均匀平面波同时到达两个或多个阵传感器单元 时，所需信号矢量s(t)可含相关分量，信号很强
14、，噪声很小，由 于计算机的字长效应而使自相关矩阵Rss,因此仅是半正定的， 其逆矩阵可能不存在。 3.3 实信号的协方差距阵(covariance matrix) 协方差距阵同相关矩阵有着密切的关系，矢量X(t),Y(t)的 协方差距阵定义为： )()( )()()()(),( tYEYtXEX YtYXtXEtYtXCov T = = 式中 (3.3.1) 对于零均值过程，相关矩阵和协方差距阵相同。 在研究宽带阵列信号处理时，频域信号表述同时域信号 表述一样有用，时域信号的等效频域信号可由其时域信号的 傅里叶变换求得。即f()=F(f(t)，时域自相关矩阵傅里 叶变换生成信号的谱密度矩阵。 )()( xxxx RF=(3.3.2) 谱密度矩阵含有频率域相关矩阵所含信号信息量 3.4 复信号的相关矩阵： * * T xy T xx YXER XXER = = 对复矢量： (3.4.1) (3.4.2) H xy H xx XYER XXER = = 另一种定义： (3.4.3) (3.4.4) 表示共轭，T表示转置，H表示共轭转置(Hermite Conjugate Transpose)。后者正好是前者矩阵的复 共轭，只要前后采用同一个定义，所得结果（所得 性
