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1、等差数列的前n项和 教学内容与教学目标1使学生理解等差数列前n项和的公式，并初步掌握其应用；2通过等差数列前n项和的公式的探求，引导学生学习“倒序相加法”等方法技能。培养灵活的思维能力和运算推理能力；3通过等差数列前n项和的公式的探索思路和方法的寻求，培养学生勇于探索的精神设计思想1本节内容是在学生已有等差数列的通项公式及其一般形式、等差数列的一个简单性质的基础上安排的拟按如下步骤进行：(1) 复习等差数列的通项公式及其一般形式等差数列的一个简单性质；(2) 等差数列前n项和的公式的探求；(3) 等差数列前n项和的公式的初步应用2通过等差数列前n项和的公式的探索思路的揭示，教学生学习“倒序相加
2、法”等方法技能，培养学生思维的灵活性课题引入方法1：师提出问题：求123100=？比一比谁算得又快又准确展示几种不同的算法，比较优劣估计会有学生与德国数学家高斯10岁时的算法一致，如是，师顺水推舟，及时赞扬鼓励，并要求学生说出左端是一个什么样的数列（等差数列）的和？一般情况怎样求和呢？以此引入课题如不是，师可介绍小高斯的算法，让学生自行比较算法的优劣，并总结高斯解法的思路然后提出一般等差数列如何求前n项和？以此引入课题方法2：教师提出问题：求图31中所有各层钢管的总和展示几种不同算法，估计有学生用的方法求如是，师请学生说出解题思路，并让学生判断这是什么样的数列（等差数列）的和？一般情况怎样求和
3、？以此引入课题如不是（估计会出现逐层相加的算法），师指出把各层钢管数逐层依次相加果然能获得结果，但当每层钢管数及层数都较多时，此法显然较繁那么，能否有简便的计算方法呢？以此引入课题知识讲解关于等差数列前n项和的公式1教学模式：提出问题，即求等差数列a1，a2，a3，an，的前n项和Sn探索求和思路导出求和公式公式变形公式鉴赏即在引入课题，学生受到具体问题算法的启示后，由学生自行探索求和公式（师只是点拔），再将通项公式代入即可得变形公式，最后师生共同分析公式特点，从不同角度揭示公式的内涵，加深对公式的理解采用这一教学模式，旨在使学生学习由特殊到一般的推理方法，培养学生灵活的思维能力通过对公式的变
4、形、鉴赏，逐步使学生学会学习，培养学生思维的深刻性2在等差数列求和公式的探求中，我们采用了“倒序相加法”关于这一方法的由来，一是受到了引入课题时具体问题算法的启示但这还不够，事实上，求和式Sn= a1a2an，主要矛盾是怎样消除这个和式中的省略号“”，以此启发学生寻求实现这一目标的方法和途径，才算抓住了解决问题的根本3公式鉴赏等差数列前n项和的公式是：Sn= ， 或Sn= 对公式，进一步的认识见教学指导库第三章概念辨析之5（等差数列前n项的和）例题分析考虑到本节课是等差数列前n项和的公式的起始课，因此例题主要围绕求和公式的简单应用选配例1等差数列10，6，2，2，前多少项和是54？通过本题求解
5、，使学生初步掌握公式的应用，能用方程的思想解决问题分析与略解：这是已知等差数列前n项和求n的问题，是公式的直接应用注意到：a1= 10，d=4，若设前n项和Sn=54，则：10n4=54整理，得n26 n27=0解得n=9，或n= 3（舍去）因此，所给数列前9项和是54例2已知等差数列an中，a3a18=100，求S20选配本题的目的在于使学生能初步运用公式求前n项和，同时也熟练了等差数列性质的应用解：由于120=318，故a1a20=100 S20=小结本节课我们主要研究了等差数列前n项和的公式及其初步应用通过求和公式的探索，我们初步领略了“倒序相加法”在求和中的作用同时，从方程、函数、几何
6、的角度对公式加以分析或印证，加深了我们对公式的理解习题1已知an是等差数列，且a1=，d= ，Sn= 5， 则n= ，an= 2已知an是等差数列，若a3a4a5a6a7a8=123，则S10=（ ）(A) 164(B) 205(C) 246(D) 2873有一个凸多边形，它的各内角的度数成等差数列，最小角为60，公差为20，求这个凸多边形的边数参考答案115，B 提示：a1a10= a3a8= a4a7= a5a6=41，故S10=3设边数为n，则Sn=60n又凸多边形内角和为（n2）180，因此，60n=（n2）180解得n=4，或n=9但当n=9时，a9=a18d=60820=22018
7、0，故n=9不合题意，应舍去所以n=4引申与提高数列an是等差数列的充要条件是其前n项和为Sn= an2bn（a，b为已知常数且a）证明：必要性：an是等差数列， Sn= na1令= a，a1= b，则Sn= an2bn充分性： Sn= an2bn，（n2）.（n=1），an=当n=1时，2anab= ab， an=2anab于是an1an=（常数）an是等差数列上述结论为我们提供了判断一个数列是否是等差数列的依据，注意Sn的表达式中常数项为零思考题已知两个等差数列an和b n，它们前n项的和分别为An和Bn，且 ，求的值略解：记Tn=，则=测试题1已知正偶数组成的数列2，4，6，的前n项和等
8、于9900，则n等于 2一个项数为n的等差数列，其前4项和为40，最后4项和为80，所有项之和为210，则n等于（ ）(A) 12(B) 14(C) 16(D) 183数列an为等差数列，若S6=78，且第7项到第11项的和为45，求此数列中第12项到第15项的和参考答案199提示：a1=2，d=2，Sn=9900，故2n n=99，或n= 100（舍去） 2B 提示： a1 a2 a3 a4=40，anan1an2an3=80， （a1an）（a2an1）（a3an2）（a4an3）=120，因此a1an= a2an1= a3an2= a4an3=30，又Sn=210，故=210，n=143由题意，得 解得故S15=15 a1，而S11=33， 此数列第12项到第15项和= S15S11= 108
