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1、第三章 空间向量与立体1空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.第1层用已知向量表示未知向量例1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc，又ca，abc.点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向
2、量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.第2层化简向量例2如图，已知空间四边形ABCD，连结AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.(1)；(2)()；(3)().解(1).(2)().(3)().、如图所示.点评要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行
3、四边形法则.第3层证明立体几何问题例3如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线.证明设a，b，c，则a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三点共线.2空间向量易错点扫描易错点1对向量夹角与数量积的关系理解不清例1“ab0”是“a，b为钝角”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)错解ab0cosa，b0a，b为钝角，所以“ab0”是“a，b为钝角”的充要条件.错因分析错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.剖析当a，b时，ab0，但此时夹角不为钝角，所以“ab0”是“a，b为
4、钝角”的必要不充分条件.正解必要不充分总结ab0a与b夹角为锐角或a与b方向相同.易错点2忽略两向量的夹角的定义例2如图所示，在120的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B.已知ACABBD6，试求线段CD的长.错解ACAB，BDAB，0，0，二面角AB的平面角为120，120.CD22()2222222362262cos 12072，CD6.错因分析错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量，的夹角与二面角AB的平面角互补，而不是相等.正解ACAB，BDAB，0，0，二面角AB的平面角为120，18012060.CD22()2222222362262cos
5、60144，CD12.易错点3判断是否共面出错例3已知O、A、B、C为空间不共面的四点，a，b，则与a、b不能构成空间的一个基底的是_.(将正确答案的序号填上)；或.错解a，b，相加得(ab)，所以、都与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故填.剖析(ab)，说明与a、b共面，但不能认为、都与a、b共面.设xayb，因为a，b，代入整理得(xy1)(xy)(xy)0，因为O、A、B、C四点不共面，所以、不共面，所以xy10，xy0，xy0，此时，x、y不存在，所以a、b与不共面，故a、b与可构成空间的一个基底.同理a、b与也可构成空间的一个基底.因为a，b，相减有(ab)，所以与a、b共面，故
6、不能构成空间的一个基底.正解易错点4混淆向量运算和实数运算例4阅读下列各式，其中正确的是_.(将正确答案的序号填上)abbc(b0)acab0a0或b0(ab)ca(bc)|cos(180AOB)错解(或或)剖析想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错.向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故、错误；若ab0a0或b0或ab，故错误；的夹角是180AOB.正解易错点5忽略建系的前提例5四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，AE平面ABCD，AE2，F为CE中点，试合理建立坐标系，求、所成角的余弦值.错解以A为坐标原点，以、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A
7、xyz.此时(1,1,1)，(0,2,0)，所以cos，.剖析空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直.正解设AC、BD交于点O，则ACBD.因为F为CE中点，所以OFAE，因为AE平面ABCD，所以OF平面ABCD，OFAC，OFBD，以O为坐标原点，以、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.此时(1,0,1)，(1，0)，所以cos，.易错点6求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例6在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小.错解以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,
8、0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).由题意知是平面ABD1的一个法向量，(1,0,1)，是平面BCD1的一个法向量，(0,1,1)，所以cos，.所以，60.所以二面角ABD1C的大小为60.剖析利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置.正解以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).由题意知(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量.所以cos，所以，60.结合图形知二面角ABD1C的大小为120.3空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几
9、何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.1.利用共顶点的互相垂直的三条棱例1已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1
10、,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0).所以cos，.故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.点评本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.2.利用线面垂直关系例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB，BB12，BC1，BCC1.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.解过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，因为AB平面BB1C1C，所以BP平面ABB1A1，以B为原点，分别以BP，
11、BB1，BA所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.因为AB，BB12，BC1，BCC1，所以CP，C1P，BP，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C(，0)，C1(，0)，E(，0)，A1(0,2，).点评空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.3.利用面面垂直关系例3如图1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中点.将ABE沿AE折起，
12、使平面BAE平面AEC(如图2)，连结BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.解取AE中点M，连结BM，DM.因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，所以ABE与ADE都是等边三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，所以BMMD.以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，所以(2,0,0)，(0，)，设平面BCD的法向量为m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因为平面ABE的一个法向量(0，0)，所以co
13、sm，所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45.点评本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活.本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝向量法，教你如何以静制动.1.求解、证明问题例1在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a).设AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0).(
