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1、数 学 分 析数 学 分 析 中国人民大学信息学院 (1) 1 空间解析几何简介空间解析几何简介 2 向量代数向量代数 中国人民大学信息学院 向量：向量：既有大小又有方向的量.记为或既有大小又有方向的量.记为或 以以 1 M为起点，为起点， 2 M为终点的有向线段为终点的有向线段. 1 M 2 M a . 21M M 零向量：零向量：模长为模长为0的向量.记为的向量.记为 . 0 |a 21M M| |. 向量的模：向量的模：向量的大小.记为向量的大小.记为 单位向量：单位向量：模长为模长为1的向量. 或 的向量. 或 向量夹角：向量夹角：将两非零向量, 的起点放在一起便可得 到.记为规定 将
2、两非零向量, 的起点放在一起便可得 到.记为规定 a b a b ., ba ., 0, ba 若两个向量中有一个为零向量时， 规定它们的夹角可在 若两个向量中有一个为零向量时， 规定它们的夹角可在0与与 之间任 意取值 之间任 意取值. 3 负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量.记为大小相等但方向相反的向量.记为 .a 中国人民大学信息学院 向量的有向线段表示不是唯一的向量的有向线段表示不是唯一的. （矢量）（矢量） 加法加法ba (平行四边形法则平行四边形法则) 中国人民大学信息学院 减法减法)( baba ba ba a b 数乘数乘 , 0)1( a 与与a 同向，同向，|aa ,
3、 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向， |aa a a 2 a 2 1 运算律：运算律： 交换律：交换律：.abba 结合律：结合律：cbacba )().(cba . 0)( aa )()(aa a )( 分配律：分配律： aaa )(baba )( 4 0 | a a a 单位向量单位向量 .0aa 非零向量非零向量 5中国人民大学信息学院 线性表示线性表示 命题命题1. 若向量共线若向量共线, 则其中之一可以表示为另一 个向量的倍数 则其中之一可以表示为另一 个向量的倍数. 12 ,a a 推论推论1.向量共线不全为向量共线不全为0的实数的实数s.t. 12 ,a a
4、 12 ,k k 1 122 0.k ak a 命题命题2.向量共面不全为向量共面不全为0的实数的实数s.t. 123 ,a a a 123 ,k k k 1 12233 0.k ak ak a 命题命题3.对于任意四个空间向量必存在不全 为零的实数使得 对于任意四个空间向量必存在不全 为零的实数使得 1234 ,a a a a 1234 ,k k k k 1 1223344 0.k ak ak ak a (作业作业) .,cos|bababa 内积内积(点积点积, 数量积数量积) 中国人民大学信息学院6 运 算 律 运 算 律 ;abba ;)(cbcacba ),()()(bababa 若
5、为常数：若为常数： , ).()()(baba 向量的内积是一个数量向量的内积是一个数量,a b a b a b 2 | ,arccos. | a b a aaa b a b 向量的外积是一个向量向量的外积是一个向量. 其大小为其大小为: 中国人民大学信息学院 ba 7 运 算 律 运 算 律 外积外积(叉积叉积, 向量积向量积) .,sin|bababa 其方向为其方向为: 当共线时当共线时, ba , ; 0 ba 当不共线时当不共线时, 为的公垂方向为的公垂方向, 且构成右手系且构成右手系. ba , ba , 若若 为常数：为常数： .abba .)(cbcacba ).()()(ba
6、baba ,a b ba baba , a b ba 0 aa 混合积混合积 中国人民大学信息学院8 cba )(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积. . bacacbcba )()()( a c b ba 运 算 律 运 算 律 数量数量 x yo z xoy面面 yoz面 面 zox面 空间直角坐标系共有 面 空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限 中国人民大学信息学院9 空 间 的 直 角 坐 标 空 间 的 直 角 坐 标 向量的坐标表示向量的坐标表示 反之反之, 对任意三个实数由可唯 一决定一个空间向量 对任意三个实数由可唯 一决定一个空间向量. 所以所以, 在给定的坐标系下在
7、给定的坐标系下, 向量与其坐标一一对应向量与其坐标一一对应. 因此因此, 有时也用向量的坐标来表示向量有时也用向量的坐标来表示向量, 写成写成 10中国人民大学信息学院 定理定理1. 若是三个不共面的向量若是三个不共面的向量, 则对于任意的 向量 则对于任意的 向量 , 有唯一的一组实数使得有唯一的一组实数使得 123 ,a a a a 若为直角坐标系的三个坐标向量若为直角坐标系的三个坐标向量, 则任何一个 向量在直角坐标系下对应一组实数 则任何一个 向量在直角坐标系下对应一组实数 123 ,a a a 123 ,k k k 112233 k ak ak a 123 ( ,).ak k k 1
8、 12233. ak ak ak a 向量的坐标表示向量的坐标表示 a 123 ,.k k k 123 ,k k k 中国人民大学信息学院 设设 11 123123123 ,.aa ia ja kbb ib jb kcc ic jc k 123123112233 (,)(,)(,).a a ab b babbabaab 123123 (,)(,).a a aaaaa 1 12 23 3. a baa babb 222 123 |.aaaa 以以kji ,分别表示沿分别表示沿zyx,轴正向的单位向量轴正向的单位向量. 1 12 23 3 222222 123123 cos, a ba ba b
9、a b aaabbb 123 123 . ijk aaa b a b bb 123 123 123 (). aaa a bbbb ccc c 中国人民大学信息学院 0, 0 00 21 3 321 aa b aaa 例如，例如， a b / 0)(cba 三向量共面三向量共面cba , 12 1 12233 00aba ba ba ba b 312 123 0,. . aaa a bs t ab bbb 123 ,b b b 不能同时为零不能同时为零, 但允许两个为零但允许两个为零, 非零向量的非零向量的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的 正向的夹角 ( ). ：非零向量与三条坐标轴的 正向
10、的夹角 ( ). a ,0 x y z o 中国人民大学信息学院13 cos| 1 aa cos| 2 aa cos| 3 aa 向量的方向余弦向量的方向余弦 123 (,)aaaa 表示向量 的方向 表示向量 的方向 a 当时当时, 1 222 123 2 222 123 3 222 123 cos, cos, cos. a aaa a aaa a aaa 222 123 |0aaaa 222 coscoscos1. 单位向量单位向量: 0 (cos, cos,cos ) | a a a 空间解析几何简介空间解析几何简介 14 平面与直线平面与直线 中国人民大学信息学院 空间的点有序数组空间
11、的点有序数组(x,y,z) 11 ),(zyxM x y z )0 , 0 , 0(o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ), 0 ,(zxC 中国人民大学信息学院15 我们把起点在原点我们把起点在原点O的向量称 为 的向量称 为向径向径. 这样对于空间中任意 一点 这样对于空间中任意 一点M, 都有都有x, y, z, 使得使得 对于一般的向量用向径来表示对于一般的向量用向径来表示, 有 其中分别表示沿 有 其中分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量轴正向的单位向量. 称称x, y, z 为点为点 M 在直角坐标系下的在直角坐标系下的坐 标 坐 标, 记为记为 M (x, y, z). ,OMxiyjzk
