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1、第七讲 中值定理与 导数的应用 第七讲 中值定理与 导数的应用 基本概念和基本理论基本概念和基本理论 0000 000 ( ), ( ),( )( )( ( )( ), ( ), xU x xU xf xf xf xf x f xxf xx 00 定义（）若存在 的某个邻域使得 对有则称函 数( )在 取得极小（大）值称点 为极小 （大 极值概念 ）值点。 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小 值点统称为极值点. 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小 值点统称为极值点. :意 注 0.)(xf导数 的则必有f在x为f的极值点,若x点可导,且f在x 的某领域内有定义,设f在x )定理5.
2、3(费马定理 :意 注 0.)(xf导数 的则必有f在x为f的极值点,若x点可导,且f在x 的某领域内有定义,设f在x )定理5.3(费马定理 = ? ? ? 1、微积分学基本定理、微积分学基本定理 。可导的极值点为稳定点 ）；0的点为稳定点（驻点（x）f2、称使 平的。数的极值点处切线是水1、几何意义：可导函 = （2）、中值定理）、中值定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数罗尔（Rolle）定理 如果函数)(xf在闭区间 在闭区间 ,ba 上连续,在开区间上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即)()(bfaf=,那末在=,那
3、末在),(ba内至少有一点内至少有一点 )(baxf时, 函数时, 函数)(xf在在 0 x处取得极小值.处取得极小值. 定理 (定理 (第二充分条件第二充分条件) ) 0 ( ) 00 ( ) 0 ( ) 00 ( ) 0 0 () 1,()0 (1,2,1),()0, ( ),()0 ,()0. ( ),. k n n n fx nxnfx knfx infxfx fx iinfx = = ? 定理 设 在的 某邻域内 存在直到阶导函数 在 处 阶可导 且 则 当 为偶数时 极值的第三充 在 取得极值 且当时 取最大值时取最小值 当 为奇数时在 处 分条 不取极值 件 . , . ,.)(
4、 ,),()( 00 00 上的最大值与最小值 就能从中找到在数值导点和区间端点上的函 在所有稳定点、不可所以只要比较个稳定点 还是一则可导在又若值点小定是的极大 必则内在区间值点小的最大若函数 f xxf xbaxf 最大值与最小值三 3、函数的凸凹性函数的凸凹性 . ,)2() 1 ( . )2()()1 ()()1 ( ,. ) 1 ()()1 ()()1 ( ) 1 , 0(, ,1 )( 2121 2121 21 严格凹函数函数称为严格凸函数和 则相应的等式中的不等式改为严格不、如果 上的凹函数为则称 如果总有反之上的凸函数为则称 总有和任意实数两点 上的任意若对上的函数为定义在区间
5、设定义 函数凹凸一 If xfxfxxf If xfxfxxf xx IIf + + 123 3221 2132 : , ()()()() fII xxx f xf xf xf x xxxx = = = + 取在 ，上 有 且因 而 11 22 2 2 4 ,1,1 1ln(11)ln(1), ln(1)ln 2. x arctgarctgxx arctgxx + + 在 区 间上 ， 对 任 意 则 3 11 212 ( )( )() ( )( )()( 1 ). 2f f bf ab af af bb af =+ 、设函数 在a,b上三阶可导，证明 存在(a,得 例 b)使 3 3 2 3
6、 3 2 () () ()()3 () 22 () 6 () 2 () ()()()()() ()0 . ()()() , ()()0, ()()() ()0 . ()()() . xa xa ba fxfaxa xa ba xa xa ba gxfxfafxfa ga Fxgxgb FaFbFgab Fxfxgb Fa Fxfxgb =+ = = = = = = 证 明 ： 作 辅 助 函 数 则又 令 则且在上 三 阶 可 导 。 则又 有 3 3 3 2 2 6 () 2 () () 12 () 12 () 2 ( )()()()()()/ 2 ()()/ 20()0 ()()( )0
7、()( ) ()( )() ( )()0. aa ba ba ba ba Taylor F bFaFabaFba FbaF Ffg b fg b ffbfa fbfa =+ = = = += + += 由中 值 定 理 ， 推 得(a,b),使 由 此 得 到 。 而 即 ( ) , ( , ) max( ),( )( ), .( , )(0 1 ). f xa ba b f af bf cac ba bf = 证 明 : 设 对 任 意有 因 而 当时 ，常 数 。 0 3 2 3 ,1 ()(3 ) 23a rc s in xx fxf a r c tg = = =+= 取则 当时 ， 有
8、 1 ( )1 (1)lim( ), 1( ) x f xx ff x xf x + = = = 又因在右连续，则 即当时，恒成立。 二、利用微分学理论证明不等式的 方法 二、利用微分学理论证明不等式的 方法 利用Lagrange中值定理 利用函数的单调性 利用Taylor公式 利用最大值、最小值及其它方法 1 ln(,0() 2 1) x x xx x + 、证明不等例式 ( 0 )(1)1, (1)1() pp ff xxfx = + 分 析 ： 由 于这 样 不 等 式 即 为 函 数在 其 端 点 处 函 数 值 的 大 小 比 较 问 题 ， 因 而 利 用 最 大 值 、 最 小
9、值 证 明 。 1 11 1 2 ()(1) 1 / 2 . (0 )(1)1,(1 / 2 )1 . p pp fxpxx x fff = = = 则例、 设 11 1 (1)(1) ,0 (1) () bb bb b b ab a b ab x fx x + + + + = 分 析 ： 作为习题 () 1 1(0 ) x x yx=+ 例 7 ( R 5 5： 研 究 函 数) 的 单 调 性 。 ()() ()()() ()() 11 12 ln1ln1 1111 1 111 1 1ln1 1ln1 x xx x x x xx x x xxx yee yx + + + = =+ =+ 解
10、 ： 由 于 则 () () () 2 11 1 1 (1) 11 1 1 ln1 ()0 ()(0,)(0,) ()ln10, 0,()()0 . 0,1(0,) xx xx xx xx x x fx fx fx fx xfxf yy + + + =+ = + = =+ 设() 则 因 此在在上 严 格 递 减 。 又 因 为 于 是 ， 对有 故则在上 严 格 单 调 递 增 。 l i ml i m 22 2lnln1aba ba a bab + =+ + ? 证 明 ： 因在处 连 续 ， 且 由 连 续 函 数 的 保 号 性 定 理 ， （ 当（时 ， 由公 式 得 2 121,0
11、 n n? 13 、 求，3，例 中 的 最 大 值 。 1 ln1 ln1 22 1ln1ln (),( 0 ,) . (), () ()0. () 1,()0 0lnln1,()0 ; () x x xx x xxxx xx fxxx fxxe fxex fxxe fx xeln xln efx xexefx xefx =+ = = = = = 解 ： 设 函 数 因则 令得 到 稳 定 点 为 ： 由 于为 可 导 函 数 ， 则 稳 定 点 只 有 一 点 。 当时 ， 当时 ， 因 而为的 极 大 值 点 ， 也 为 最 大 值 点 。 2663 2893= = 证明：由于 利用根的
12、存在性定理知： 函数在( 0 , 2 ) 内至少存在 一个根。 剩下的自己证明： 即函数剩下的自己证明： 即函数F(x)是单调的是单调的 例12 填空：在空格上指出下列命题的证明主要依据 是什么定理（哈工大） 例12 填空：在空格上指出下列命题的证明主要依据 是什么定理（哈工大） 1）Rolle定理 （） 2）闭区间上的连续函数必有原函数（） 3）不定积分的换元积分法（） 4）极限存在（） 5）（） 6）Lagrange中值定理（） 2 1 lim(1) n n + sin 0 lim1 x x x = 1） 闭区间上连续函数的最大值、最小值定理，费马定 理 2）积分学中值定理 3）复合函数求导法则 4）单调有界数列必有极限 5）函数极限的两边夹法则 6）Rolle定理
