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1、11 222 333 111 0 0 nnn nn bc abc abc A abc ab = MMMM 11 22 1 1 1 1 n nn uc lu c lu = O O OO 解三对角方程组的追赶法解三对角方程组的追赶法 Axd Lyd Uxy = = = 追赶法追赶法 3特殊矩阵的三角分解法特殊矩阵的三角分解法 平方根法平方根法(Cholesky分解法分解法） = nnnn lll ll l L 0 21 2221 11 L OMM = nn n n T l ll lll L 222 12111 MO L L T LLA =对称正定矩阵的对称正定矩阵的分解分解：Cholesky yx
2、LbyLbAx T = , 对称正定方程组的平方根法（对称正定方程组的平方根法（分解法）分解法）：Cholesky T ALDL= 1 212 31323 123 1 1 1 1 nnnn d ld lldLD llld = MMMOO L 对称正定方程组的改进平方根法（对称正定方程组的改进平方根法（分解法）分解法）： T LDL 1T Lyb Axb L xDy = = = () T LDL改进的平方跟法法改进的平方跟法法 T LDL对称矩阵的对称矩阵的分解分解： T LLA = 1.矩阵乘法比较矩阵乘法比较 12n计算顺序：依次求第 列，第 列， 第 列计算顺序：依次求第 列，第 列， 第
3、 列L 每列自上而下计算每列自上而下计算 11 2122 12 12 kkkk nnnknn l ll L lll llll = % % MMO % % L MMLMO % LL Cholesky求对称正定矩阵的求对称正定矩阵的分解分解： LLUL分解中分解中为为其中其中 2 1 LDL = 角阵角阵的主对角元素所成的对的主对角元素所成的对分解中分解中是是ULUD 2.用紧凑格式用紧凑格式： LkUk的第 列元素的第 列元素= 的第 行相应元素的第 行相应元素 L的计算可用下列简化的计算可用下列简化: . ii u除以除以 :ALU注 将对称矩阵 进行分解时注 将对称矩阵 进行分解时， T A
4、LDL= T LDL求对称正定矩阵的分解求对称正定矩阵的分解： 用紧凑格式用紧凑格式：LLUL分解中分解中为为其中其中 角阵角阵的主对角元素所成的对的主对角元素所成的对分解中分解中是是ULUD 正定性正定性 绝对齐次性绝对齐次性 三角不等式三角不等式 4误差分析误差分析 4.1向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 （一）向量的范数（一）向量的范数 满足：满足：若若一实数与之对应，记作一实数与之对应，记作 ，按一定规则有，按一定规则有设对任意设对任意定义定义 xx Rx n , :1 . 2 000 1=xxx且且、 xaaxRa=有有、对任意、对任意2 yxyxRyx n +都有都有、对任意、对任
5、意,3 的范数的范数为向量为向量则称则称xx 常用向量范数常用向量范数 T n xxxx),( 21 L= = = n i i xx 1 11范数范数 2范数范数 222 1 2 nx xxxx+=L 范数范数 i ni xx = 1 max . , 0, , 则称这两个范数等价则称这两个范数等价 都有都有使得对任意使得对任意 的两个范数，若存在的两个范数，若存在，为，为设设 xMxxmRx MmR n n , n Rx如对如对 两种范数等价的定义两种范数等价的定义: .的范数等价的范数等价实际上：有限维空间上实际上：有限维空间上 . 的三种范数等价的三种范数等价所以所以 n R 11 1 x
6、xx n 22 1 xxx n Printed with FinePrint - purchase at PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 （二）矩阵的范数（二）矩阵的范数 定义：对任意 阶方阵 ，按一定的规则有定义：对任意 阶方阵 ，按一定的规则有 一实数与之对应，记为一实数与之对应，记为若 满足若 满足 、 ，且，且 、对、对 、对任意 阶方阵 、 都有、对任意 阶方阵 、 都有 、 次可乘性次可乘性 则称为矩阵范数则称为矩阵范数 , 1000 2, 3 4() nA AA AAA aR aAa A nABABAB ABA B A = = + 由向量范数诱导
7、的矩阵范数：由向量范数诱导的矩阵范数： 范数）范数）矩阵范数。（也称算子矩阵范数。（也称算子 由向量范数诱导出的由向量范数诱导出的是一种矩阵范数，称为是一种矩阵范数，称为 则：则： 中的向量范数中的向量范数是是阶方阵，阶方阵，为为定理：设定理：设 x Ax A RnA x n = max 1 max x Ax = = 则称矩阵范数与向量范数满足的相容性条件则称矩阵范数与向量范数满足的相容性条件 xAAx 定义：若定义：若 注注:由向量范数诱导的矩阵范数满足此条件由向量范数诱导的矩阵范数满足此条件 常用矩阵范数常用矩阵范数 1范数（列范数）范数（列范数） = = n i ij nj aA 1 1
8、 1 max = = n j ij ni aA 1 1 max 2范数（谱范数）范数（谱范数）)( max 2 AAA T = F范数范数 2 1 11 2) ( = = n i n j ij F aA )(行范数行范数范数范数 对称对称 2 1 |( )max| i i n AAA = 注：注： 1.矩阵的矩阵的1，2，范数是分别由，范数是分别由 向量的向量的1，2，范数诱导出的矩阵范数，范数诱导出的矩阵范数； 2.所有矩阵范数都是等价的所有矩阵范数都是等价的 3.A当 为对称矩阵时当 为对称矩阵时， 2 1 |( )max| i i n AA = 111 AxAx 222 AxAx AxA
9、x * xxAA， * * , xxAA xA * AAxx设矩阵是 的近似，是 的近似设矩阵是 的近似，是 的近似， 由范数可以定义向量和矩阵的误差由范数可以定义向量和矩阵的误差 绝对误差绝对误差： 相对误差误差相对误差误差： * , xxAA xA 或或 . 420 420 001 ,)4 , 3, 2(的三种范数的三种范数和和求求例：例：AxAx T = A = x 解：解： 1 A= )( max 2 AAA T = = 420 420 001 440 220 001 AAT = 3200 080 001 24= 1 x= 2 x= 4,= 9,=29, 6,8 4.2 方程组的状态与
10、条件数方程组的状态与条件数 例例 =+ =+ 200001. 1 2 21 21 xx xx = = 0 2 2 1 x x =+ =+ 00001.200001.1 2 21 21 xx xx = = 1 1 2 1 x x 当方程组的系数矩阵或右端项出现微小当方程组的系数矩阵或右端项出现微小 变化（扰动），而变化（扰动），而引起引起解的解的巨大巨大变化变化时时 称方程组是称方程组是病态病态的的. b b = 5 1 10 2 x x = 1 2 分分析析方程的方程的病态病态是有是有什么因素造成什么因素造成的的？ , 时时即即xxxb,bb+ A xb= b x A 1 b AA b = ,
11、动动：首先考察当右端项有扰首先考察当右端项有扰bAx = ?)( b b f x x = bbxxA+=+)( bAx 1 Ax A b bA x x 1 =bAx 相容性相容性 - 1 xAb= Printed with FinePrint - purchase at PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 若矩阵有扰动，即若矩阵有扰动，即：xxxAAA+ , 时时即即xxxb,bb+ 1 xb AA xb 右端项有扰动右端项有扰动， 1 | | xA AA xxA + 1 1 :, cond( ) AAA AAA = 定以 对定以 对非奇异非奇异矩阵称数矩阵称数为
12、为矩矩阵阵 的条件数，的条件数，记为记为： 1 1 :, cond( ) AAA AAA = 定以 对定以 对非奇异非奇异矩阵称数矩阵称数为为矩阵矩阵 的条件数，的条件数，记为记为： 系数矩阵系数矩阵A的条件数的条件数刻画了刻画了方程组方程组Ax=b的的 “病态病态”程程度度，条件数，条件数越大越大，“病态病态”越严重越严重 方程组的方程组的病态病态程程度只度只与系数矩阵有与系数矩阵有关关，与右，与右 端项端项无关无关 通通常称条件数常称条件数大大的方程组的方程组为“病态”为“病态”方程组方程组 常用条件数常用条件数 1 Cond () | |AAA = 11 222 Cond () | |
13、n AAA = 1 111 Cond () | |AAA= 1 T n A A和分别是和分别是的的最大特征值最大特征值和和最最小小特征值特征值 ,A若 为实对称矩阵 则若 为实对称矩阵 则 1 2 | cond () | n A = 其中其中是 的绝对值最大和最小的特征值是 的绝对值最大和最小的特征值 1, . n A 条件数的性条件数的性质质 1. cond() 1A 2. cond() cond()AA= 1 AA 1 AA=cond()A 1= 3. ( ) T AAAI=当 是正当 是正交交矩阵矩阵时时 2 cond ()1A = 例例: 求求A的条件数的条件数 + = 5 1011 11 A + = 55 55 1 1010 10101 A 1 cond()AAA = 解：解： =+ =+ 200001.1 2 21 21 xx xx 5 (210) =+ 5 (12 10 )+ 5 4 10 123 123 123 11 1 23 111 0 234 111 0 345 xxx xxx xxx += += += ， =+ =+ =+ 020. 025. 033. 0 025. 033. 05 . 0 133. 050. 000. 1 321 321 321 xxx xxx xxx 1 2 3 9 36 30 x x x =
