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1、第八章 专题拓展 8.3 阅读理解型,中考数学 (福建专用),一、选择题 1.(2014龙岩,10,4分)定义符号mina,b的含义为:当ab时,mina,b=b;当ab时,mina,b=a. 如:min1,-3=-3,min-4,-2=-4,则min-x2+1,-x的最大值是 ( ) A. B. C.2 D.0,专题检测,好题精练,答案 A 在同一平面直角坐标系xOy中,画出二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象,如图 所示,二、填空题 2.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 “特征值”,记作k.若k= ,则该等腰三角形的顶角
2、为 度.,答案 36,解析 设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角的度数为2x度,由x+22x=180x=36.故顶角为3 6度.,思路分析 设出顶角度数,根据“特征值”可知底角度数,再由三角形内角和定理即可求得.,3.(2015龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做 这个四边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点),则正方形的腰点共有 个.,答案 9,解析 如图,正方形一共有9个腰点,除了正方形的中心外,两条与边平行的对称轴上各有四个 腰点.以B为圆心,BA长为半径画圆,与平行边的对称轴交于4个点,这4个点均满足腰点定义,同 理确定其他腰点.,解
3、题关键 解决本题的关键是要关注图形的对称性以及等腰三角形腰、底的分类讨论,同时 用好作图工具(圆规、直尺).,三、解答题 4.(2018重庆,25,10分)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的 数字之和也为9,则称n为“极数”. (1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是不是99的倍数,请说明理由; (2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极 数”,记D(m)= .求满足D(m)是完全平方数的所有m.,解析 (1)4 158,6 237,9 900. (2分) 任意一个“极数”是99的倍数.理由:设任意一个
4、“极数”n的千位数字为x,百位数字为y(其中 1x9,0y9,且x,y为整数),则十位上的数字为9-x,个位上的数字为9-y.则这个数可以表示 为 n=1 000x+100y+10(9-x)+9-y. 化简,得n=990x+99y+99=99(10x+y+1). 1x9,0y9,且x,y为整数,10x+y+1为整数. 任意一个“极数”都是99的倍数. (4分) (2)由(1)可知,设任意一个“极数”m的千位数字为x,百位数字为y(其中1x9,0y9,且x,y 为整数),则“极数”m可表示为m=99(10x+y+1). D(m)= =3(10x+y+1). (5分) 1x9,0y9, 1110x
5、+y+1100. 333(10x+y+1)300.,D(m)为完全平方数且D(m)是3的倍数, D(m)=36或81或144或225. (6分) 当D(m)=36时,得10x+y=11,解得x=1,y=1.此时,m=1 188. 当D(m)=81时,得10x+y=26,解得x=2,y=6.此时,m=2 673. 当D(m)=144时,得10x+y=47,解得x=4,y=7.此时,m=4 752. 当D(m)=225时,得10x+y=74,解得x=7,y=4.此时,m=7 425. 综上,满足条件的m为1 188,2 673,4 752,7 425. (10分),思路分析 (1)设“极数”n的千
6、位数字为x,百位数字为y,则极数n=1 000x+100y+10(9-x)+9-y, 化简得n=99(10x+y+1),显然是99的倍数;(2)根据(1)得出的极数m=99(10x+y+1),进而得出D(m)= 3(10x+y+1),进一步得出D(m)的取值范围,根据完全平方数的定义推出D(m)=36或81或144或22 5,最后得出极数m的值.,易错警示 易忽略x,y的取值范围及所得关系式的自身特征而致错.,5.(2018北京,23,6分)在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y= x +b与图象G交于点B,与y轴交于点C. (1)求k的值; (2)
7、横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的 区域(不含边界)为W. 当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.,解析 (1)由函数y= (x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4. (2)整点个数为3. 如图,若b0,当直线过点(1,2)时,b= , 当直线过点(1,3)时,b= , b ; 若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1, 当直线过点(5,0)时,b=- , - b-1. 综上,- b-1或 b .,思路分析 本题的第(2)问需要结合题意画图理解,寻找图象中的临界点.,解题关键
8、 解决本题的关键是在寻找区域内除了x轴上整点的临界整点时,要注意区域是不包 含边界的.,6.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一 点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的 “闭距离”,记作d(M,N). 已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(点O,ABC); (2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.,解析
9、 (1)如图1,点O到ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,ABC)=2. 图1 (2)k的取值范围为-1k1且k0. 提示: 如图1,y=kx(k0)的图象经过原点,在-1x1范围内,函数图象为线段. 当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(1,-1)时,k=-1, 此时d(G,ABC)=1; 当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(-1,-1)时,k=1, 此时d(G,ABC)=1.,-1k1. k0, -1k1且k0. (3)t的取值范围为t=4或0t4-2 或t=4+2 . 提示: T与ABC的位置关系分三种情况,如图2. T在ABC的左侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=-4
10、; T在ABC的内部时,d(T,ABC)=1, 此时0t4-2 ; T在ABC的右侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=4+2 . 综上所述,t=-4或0t4-2 或t=4+2 .,图2,解题关键 解决本题的关键是要从点到点的距离中发现点到直线的距离和平行线间的距离.,7.(2018陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为 . 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示,AB、AC、 是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km
11、,BAC=60, 所对的圆心角为60.新区管委会想在 路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站 点E、F,也就是,分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物 资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、 EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最 小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解析 (1)5 (2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心, OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60
12、, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP. M是弦AB的中点,OMAB,AM= AB=12. 在RtAOM中,OM= =5. (4分) PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18. (5分) (3)如图,设P为 上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别 与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF, PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2, 对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P
13、1P2. 即PEF周长的最小值为P1P2的长. (7分) 连接AP1,AP,AP2,则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC, P1AP2=2BAC=120,P1P2= AP1= AP. (8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 设O为 所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与 相交于点P, 则AP+POAO. APAP. (9分) 连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=ACtan 60=3 km. BOC=60,OB=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90. 在RtABO中,AO= = =3
14、 km. (11分) AP= (AO-OP)= (3 -3 )=(3 -9)km. P1P2的最小值为 AP=(3 -9)km. PE+EF+FP的最小值为(3 -9)km. (12分),思路分析 (1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等 可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可 得AM= AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3) 分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得 PEF的周长为P1P2
15、的长,根据P1P2= AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与 交于 点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在Rt ABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,难点分析 本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题 目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出 AP的最小值.,8.(2018江西,23,12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程: 求解体验 (1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0, 1)成中心对称的抛物线表达式是 . 抽象感悟 我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称 的抛物线y,则我们又称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”. (2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y,若
