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1、常微分方程第三章测试卷班级 姓名 学号 得分 一、 填空题（30分）1， 则称函数为在R上关于y满足利普希兹条件。2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间 内的误差估计式为 3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件的解是唯一的，记为,则成立关系式 在解的存在范围内。4，若函数以及都在区域G内连续，则方程的解作为的函数在它的存在范围内的 。5，若函数在区域G内连续，且关于满足局部利普希兹条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围内 的。6, 微分方程的奇解是指 二、解答题（50分）1， 求曲线的奇解。这里是参数，为固定常数。2， 求的奇解 3， 求初值问题及；的解的存在区间，并求第二次近似解，
2、给出在解的存在区间的误差估计。 4， 讨论分别过点（0，0），（）的解的存在区间。5， 利用克莱洛方程求的奇解，三、证明题（20分） 假设函数于的邻域内是的不增函数，试证方程满足条件的解于一侧最多只有一个。常微分方程第三章测试卷一1，若存在常数0。使得不等式，对于所有都成立 2，。 3， 4， 连续可微的。5,连续的6, 一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线，且满足积分曲线上的每一点都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切；二1解：由 得到 故所求奇解为 2 解：易解得其通解为： 又 令 则有 3 解： 故=4解：显然在整个平面上是连续 又，所以满足局部利普希兹条件，从而满足解的存在唯一性定理和延拓定理的条件。 易知方程的解为及 1、 过（0，0）的解为 ，有意义，又由解的唯一性知：与不相交，故此方程解的存在区间为 2、 过（）的解为： 当故方程 的解向左只能延拓到。又与不相交故方程的解的存在区间为。 5，解：由 与可得： 三，证明：假设满足条件的解于有两个， 则= = 令=- 与为连续函数。 不妨假设在上 于是 又 故在上矛盾，因此命题成立。
