1,这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/2）的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子力学为主主要内容有：,1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步学习全面的相对论理论打基础；,2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉克方程的严格解在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场处理第三章 狄拉克方程,§15 电子的相对论运动方程,2,§15.2 克莱因-高登方程和狄拉克方程,不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个原理中的运动方程，使之符合相对论的要求在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中，只有原理4，即,微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定谔方程,3,将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式,一.克莱因-高登方程的推导,按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题相比较，发现 与 相对应，而 与 相对应在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为,第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而得到的4,根据相对论关系,并考虑上述对应关系,这个方程称为克莱因-高登方程。
在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题：,(1) 不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；,(令 ,若对任意 , 则 为正定),并对任意波函数发生作用，有,5,(5)这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子 力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方 程的形式2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成 严重的困难因为在量子理论中存在自发跃迁的 概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐 射到 的能级；,(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需 要初始时刻的 外, 还需要 作为初始条件；,(4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好；,6,总之，克-高方程无法纳入现有量子力学的框架，而且至少对于电子是不适用的然而又不能简单地否定因为：,（1）这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程,（2）从这一方程可以导出一个连续性方程,其中,7,而上述流密度表达式与非相对论的表达式,十分相似如此看来，既然克莱因-高登方程符合相对论的要求，那么很可能是态函数不对：,即态函数虽然满足克-高方程，但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。
这个要求更高的方程就是狄拉克方程8,二. 狄拉克方程,基于克-高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这个方程的工作他希望,（1）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入已有的量子力学框架；,（2）同时又要求它的解仍然满足克-高方程于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下列形式：,或简写成,9,式中 和 是四个与时间和位置无关的待定常量,c是光速引人c的目的是保证 无量纲为了使满足此方程的态函数仍能满足克-高方程，用,从左边作用到（15.5）上，并与克-高方程（V=A=0）,相比较，得待定常数应满足,10,其中对于自由电子，有,既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克-高方程具体过程看曾谨言《量子力学》卷II p349）,在此情况下, 式,上式就称为狄拉克方程写成含时薛定谔方程形式为,11,若 不含时间，则狄拉克方程也有定态解,而 满足,从（15.9）式可以看出， 显然不可能是普通的数，除了满足下式，,还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性对电磁场中的电子，有,12,,由于哈密顿算符的构成单元 与单电子哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算符 的作用空间显然不是单电子的函数空间，而是另外一个新的空间。
这样，电子的态函数 应是在单电子的函数空间和这新的空间的直积空间中的矢量下一节我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的以后我们把 笼统地写成 ，以强调它不是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间和另一个空间的直积空间中的矢量﹟,13,三. 狄拉克方程的协变形式,概念：(1)罗仑兹变换,在洛仑兹变换下具有确定的变换性质2)协变,为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协变的形式为此，令,14,（这些算符在后面的推导中非常重要）,将狄拉克方程写成如下形式,定义4D形式的动量算符为,并且定义四个新的算符,用 左乘（15.12）式，利用,15,可证明（这里不证）Dirac方程在洛伦兹变换、空间反演和时间反演下确实是协变的这样就得到狄拉克方程的协变形式,16,﹟,再定义 ：,则有,称为 算符由于常以矩阵的形式出现，又常之为 矩阵既然 都是厄米算符，根据前面的定义， 算符和 算符也是厄米的此外由厄米性及式,可知四个 算符以及 都是幺正的17,§15.3 自旋算符,前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符 ，这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。
一. 自旋算符的寻找,1. 从对易关系入手,设电子的自旋算符为S，它应满足角动量对易关系和自旋算符的反对易关系令 ，则 的三个分量应满足,18,为了寻找满足这些关系的Σ（也称自旋算符），试用 来构造由前面所得结论可知，算符 满足,但不满足,若取两个 的乘积，肯定满足（15.19）式：,注意：c 是待定常数，不是光速！,为使（15.18）式得到满足，c可以是±i19,对于,因为,所以只要取 ，则找到了满足正确对易关系的自旋算符：,也可写成紧凑的形式,容易验证，上式即,20,对于上面给出的算符，容易证明,2.一些算符的关系,此外，有,21,利用,﹟,设A,B是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符 对易，即,以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较容易推出另外还有,22,1.自旋角动量是否守恒量？,二. 自由电子的守恒量,已知自由电子的哈密顿为,所以自由电子的自旋并不是守恒量利用,利用,23,2. 轨道角动量是否守恒量？,所以自由电子的轨道角动量不是守恒量24,3. 总角动量是否守恒量？,由前可知，对角动量,所以总角动量是守恒量。
对于自由电子，这是一个必然的结果，这说明自旋算符的构造 是正确的4. 自由电子的动量P是否守恒量？,由 前可知,故自由电子的动量P显然是守恒量25,﹟,利用,5. 自由电子的螺旋度是否守恒量？,定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即,所以自由电子的螺旋度是一个守恒量26,§16 矩阵,§16.1 矩阵的维数,求自旋空间的维数，可借助于有限群的知识，这里只做简单的介绍以 算符乘法为群乘，以 为生成元，取它们的各种乘积为群元，由 满足下列关系,在建立狄拉克方程的过程中，出现了一个新的空间—自旋空间这一节我们从五个 算符的对易关系入手找出这个空间的维数，进一步求出这些算符的矩阵表示27,,由群论的不可约表示（不再介绍）方法，可以发现这个狄拉克群有一个4维的不可约表示这个4维的表示空间正是我们所寻找的 算符所在的自旋空间群元肯定是有限个按照群元的构成分，可写为,一共32个这32个元构成一个群，称为Dirac群﹟,28,§16.2 矩阵的各种表示,一. 矩阵构造的准备工作,前面所介绍的泡利矩阵,满足下面的关系,上一节我们已经知道 算符所在的空间是4D的，算符 的表示都应是 4×4 矩阵。
下面用一个比较系统的方法求出 矩阵的各种表示29,我们的目的是寻找四个矩阵，使之满足式,这时应把Pauli矩阵理解为三个形式不变的矩阵，而脱离与自旋的关系因为Pauli 矩阵是在Sz表象中给出的，表象不同，表示当然也不同现在不可能再找出一个2×2矩阵与Pauli矩阵满足反对易关系, 但可以利用矩阵直积构造几个4×4矩阵以求得 30,上两式中，处于矩阵元地位的 是2×2矩阵(Pauli)，1代表2×2单位矩阵，而i代表2×2单位矩阵乘以i升格为4×4矩阵后，可以验证三个 仍是平方为1和反对易的，三个 也是如此下面证明：,31,利用矩阵直积运算规则，有,可见,同理有,而,且,﹟,32,二. 矩阵的构造,利用前面所得的4×4矩阵 ，寻找四个平方为1而又互相对易的矩阵方法如下：,1.写出 的9个乘积：,显然，由于 都是对易的，上面的三个横行中，每行的三个矩阵都是彼此反对易而平方为1,三个竖列中每列的三个矩阵也是如此例如第一行，令,33,则,但,所以各矩阵平方和为1.,即A1，A2是反对易的34,2. 补齐上述乘积中各行、列的元素,在第一行中再加入一矩阵,它与前面的三个矩阵互相反对易，且,再在后面加一个矩阵,它与原有的三个矩阵及 都反对易，且,这样在第一行中，我们找到了5个平方为1，互为反对易的4×4矩阵。
35,其它各行、列都可以分别补上两个矩阵，成为5个一组的平方为1、互相反对易的矩阵赋予其中四个以 ，剩下的那个冠以正负号就是 详见下表：,36,在上表中，我们把第1、2、3行称为第1、2、3组，而把第1、2、3列称为第4、5、6组，每组有5个平方为1而又互相反对易的4×4矩阵,每个矩阵都是厄米和幺正的，而每一组中的5个矩阵都可以随意令它们为 （加以适当的正负号）矩阵的各种表示,37,三. 矩阵的确定,在不同的文献中，不同的表象选用不同的 矩阵，教材中都有介绍这里介绍两组比较通用的标准表象或Pauli-Dirac表象，其中第一组给 ，第二组给出 见下表,Pauli-Dirac表象中的,38,注意教材中的符号错误,Pauli-Dirac表象中的,上表所确定的 矩阵是比较常用的，称为Pauli-Dirac表象或标准表象，其特点是 是对角的：,而 矩阵具有下列形式,39,﹟,可得自旋算符的矩阵形式是对角的：,利用,注意：算符 代表物理量，在不同表象中矩阵形式是不同的，与前面提到的形式不变的4×4 矩阵不同。
在讨论单电子的Dirac方程时，绝大多数使用Dirac-Pauli表象，其它表象多用在量子场论中40,§17 自由电子Dirac方程的严格解,一. Dirac-Pauli表象下的算符和态矢量,在 Dirac-Pauli表象下，,写成4D形式，有,41,若有外场，则Dirac方程可以写为,自旋算符写为,在Dirac-Pauli表象中，上面的Dirac方程中态函数是函数空间与4D的自旋空间二者直积空间中的矢量，其一般形式可写成一列矩阵，矩阵元是x,y,z 的函数:,42,对自由电子， ，Dirac方程变为,1. 厄米算符完备组的确定,(17.6)式形式的量为旋量,而(17.5)式形式的量为双旋量有时也把4D的一列矩阵写成一个二维矩阵，其两个矩阵元 又分别是两2D矩阵：,二. 自由电子的Dirac方程的求解,43,因V=0，故可令,代入上式，得 满足的定态狄拉克方程,。