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1、1,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,4. 有理函数的积分,有理函数,真分式,假分式 ,2,例如,多项式的积分已经解决，因此，研究有理函数 的积分时，只要研究真分式的积分即可. 下述定 理是我们的出发点.,定理 设有真分式,，若,则真分式可以分解成部分分式之和：,3,4,例如：,这里有11个待定的常数，将方程右端通分，消 去两端分母，比较方程两边 x 的同次幂的系数， 可解得待定常数. 有时对某些具体问题，可综合 使用以 x 的特殊值代入的方法，可简化计算.,5,右端通分，约去共同的分母，得恒等式,解,6,于是，我们讨论部分分式的积分：,对3、4，我们通过例
2、子来说明其积分法.,7,解 将分子化为分母的导数与常数之和的形式,8,对第二项积分，由3.例9 的递推公式：,9,于是，有,10,故有理函数的积分问题就解决了. 下面我们来看一个完整的例子.,11,解 被积函数为假分式，由例1，例2,12,13,解 设,右端通分，得,14,15,例7 求积分,解,令,指数代换,16,17,三角函数有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、可化为有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,18,（万能代换公式）,19,虽然，对于三角函数有理式的积分，利用万能 代换可化为有理函数的积分. 但有时利用这种代 换并不是最简单的. 例
3、如：,解,20,又如：,21,例9 求积分,解（一）,22,解（二）,修改万能代换公式,令,23,解（三）,可以不用万能代换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,24,例10 求积分,解,25,“1”的妙用,26,解决方法,作代换去掉根号.,2. 简单无理函数的积分,27,化为本段所指出的类型了.,解,28,29,解 被积函数中，x+1的根指数不同，它们的最 小公倍数是6，要同时消去这三个根式，,于是,30,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,31,例13 求积分,解,先对分母进行有理化,原式
4、,32,此时，先将 配方，然后作三角 代换，就可化为三角函数有理式的积分.,解 将根号内 的二次三项式配方，得,再作三角代换，,33,(1),34,作辅助三角形，则,代入(1)式，得,35,36,最后还需要指出：对于初等函数来说，在其定义 区间内，它的原函数一定存在，但其原函数不一定 都是初等函数，如,等等. 其原函数都不是初等函数.,37,3. 简单无理式的积分.,1. 有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,2. 三角有理式的积分.（万能代换公式）,（注意：万能代换并不一定是最简便的方法）,小 结,38,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,39,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,40,41,解 当 n 1时，用分部积分公式，有,对某些积分,用分部积分公式可得出递推公式：,42,43,44,作业,P218 1,2,4,5,7,10,12,14,16,17,19,22,45,46,在三角函数有理式的积分,中，当三角函数有理式 R(sinx,cosx) 具有某种对 称性时，用下述变换往往较简便：,47,解一,48,等等,解二,49,50,51,分段函数的积分,【例】,52,由于原函数的连续性：,53,
