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1、,第四节 有理函数的积分,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,本节内容:,第四章,1. 有理函数的定义：,由两个多项式的商所表示的函数称之为有理函数.,一、有理函数的积分,假定分子多项式与分母多项式之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式的带余除法, 总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式.,例,2. 有理真分式化为部分分式之和,利用多项式的带余除法, 总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式.,从而，要讨论有理函数的积分，只需要讨论有理真分
2、式的积分。,问题：怎么求有理真分式的积分？,思路：,先将有理真分式化为部分分式（或称为简单分式）之和，再分别求出每个部分分式的积分。,问题：,怎么将有理真分式化为部分分式之和？,（1）分母Q(x)中若有k重1次因式 ，则分解后有下列k个部分分式之和：,特别地：,分解后为,有理真分式化为部分分式之和的两种情形：,（2）分母Q(x)中若有k重二次质因式 , 其中 ，则分解后有下列k个部分分式之和：,特别地：,分解后为,在将真分式化为部分分式之和的过程中，确定各项系数的方法,例如,3. 待定系数法：,方法1：通过解方程组的方法来确定各项系数,再例,整理得,不详讲,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并
3、将 值代入,又例,方法2：也可用取特值的方法来确定各项系数,现在已经知道，将有理函数化为部分分式之和后，只出现以下三类函数：,多项式；,前两类积分易求，关键是如何求第(3)类函数积分？,令,4. 有理函数的积分,下面讨论积分：,令,则,记,至此，在理论上，求有理函数的不定积分问题已经圆满地得到了解决，并且上面的结果也告诉我们：,有理函数的原函数一定是初等函数.,结论,利用“递推法”,解,5. 几个有理真分式的积分例子常规方法,前书例3 求积分,解,前书例4 求积分,解,令,补例1 求积分,提示：本题中的被积函数虽不是有理函数，却可以通过代换化为有理函数。,6. 特殊的技巧与方法求有理函数积分举
4、例,解: 原式,前书例2. 求,将有理函数化为部分分式之和后再求积分的常规方法虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求更简单的方法！,解:,补例2. 求,补例3. 求,解: 原式,补例4. 求,解: 原式,(见P205公式20、21),注意本题技巧,若按常规方法来求解，过程较繁,（前书P218习题10）,配对积分法,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,一题多解举例,提示:,法1,法2,法3,补例5,二、三角函数有理式（或三角有
5、理函数）的积分,由基本三角函数( 和 )和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角函数有理式（或三角有理函数）. 一般记为,（万能代换公式）,关于u的有理函数的积分,2. 使用万能代换法求三角函数有理式的积分举例：,解: 令,则,书例4. 求,解,由万能代换公式,补例6 求,解（一）,补例7 求,解（二）,修改万能代换公式,令,解（三）,可以不用万能代换公式.,比较以上三种解法, 便知万能代换不一定是最佳方法, 故三角函数有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换.,说明,将真分式分解成部分分式之和时应注意什么？,课堂思考题,（注意：有理式首先必须化成真分式）,分解后的部分分式必须是最简分式.,思考题解答,
