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1、宁夏海原县李俊中学2015届九年级上学期数学竞赛试题1 选择题(57=35)1. 对正整数n,记n!=12.n,则1!+2!+3!+.+10!的末位数是( )A0 B1 C3 D5【分析】时,!的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个位数是3.本题选C2. 已知关于x的不等式组恰好有5个整数解,则t的取值范围是( ) 【分析】,则5个整数解是注意到时,只有4个整数解所以,本题选C3. 已知关于x的方程恰好有一个实根,则实数a的值有( )个A1 B2 C3 D4【分析】,下面先考虑增根:)令,则,当时,(舍);)令,则,当时,(舍);再考虑等根:)对,当.
2、故,共3个.本题选C4. 如图,已知ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )A3 B4 C5 D6【分析】设底边上的高为,则,本题选D5. 在分别标有号码2,3,4,.,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是( ) 【分析】 本题选B二填空题(57=35)6. 设,b是a2的小数部分,则的值为 【分析】考虑到,则则7. 一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6掷这个正方体三次,则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 【分析】对第一次向上面为1
3、时,后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111,114,123,126,132,135,141,144, 153,156,162,165共12种;对于首次掷得向上的面是2,3,4,5,6的,后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的,故和为3的倍数共有,而总次数是次,则其概率为.8. 已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则abc的最大值为 【分析】先消去c,再配方估算观察易知上式中,故,经试算,时,均不是整数;当时,于是有,故9. 实数a、b、c、d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b,一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d,则所有满足条件的
4、数组(a、b、c、d)为 【分析】由根与系数关系知,然后可得(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中,总感觉还有,此处仅给出一组,好像不严谨,期待官方答案10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了 支圆珠笔【分析】设4元的卖x支,7元的卖y支,则令,则,又,即,即他至少卖了207支圆珠笔三解答题(420=80)11如图,抛物线y=ax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA直线与y轴交于点D,求
5、DBC-CBE【分析】易知,作EFCO于F,连CE,易知OBC、CEF都是等腰直角三角形,则CBE是直角三角形分别在RtOBD、RtBCE中运用正切定义,即有,则从而可得DBC-CBE=4512如图,已知AB为圆O的直径,C为圆周上一点,D为线段OB内一点(不是端点),满足CDAB,DECO,E为垂足,若CE=10,且AD与DB的长均为正整数,求线段AD的长【分析】设圆O半径为r,则由相似或三角函数或射影定理可知,又由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似或三角函数,易知,而令,/即,显然有,则,即,为正整数,故,又也为正整数,经逐一试算,仅当这一组是正整数,故.13设a、b、c是素数,
6、记,当时,a、b、c能否构成三角形的三边长?证明你的结论【分析】a、b、c是素数,则为整数,则,为正整数化简整理后,有),不能围成三角形;)综上所述,以a、b、c不能围成三角形14如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数) 求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,an中都至少有一个为m的“魔术数”【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又a1,a2,an互不相等,不妨设,余数必为1、2、3、4、5、6,0,设,(),至少有一个为m的“魔术数”因为(k是m的位数),是7的倍数,当时,而除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当时,而除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当时,依抽屉原理,与m二者余数的和至少有一个是7,此时被7整除,即n=75