第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念,滤波器：,模拟滤波器：,数字滤波器：,6.1 数字滤波器的基本概念,数字滤波器优点： 精度高 稳定 体积小、重量轻 灵活 不存在阻抗匹配问题 可实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能,利用A/DC和D/AC，可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 （1） 根据有用信号与干扰的频带位置

2、 经典滤波器： 输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号。,图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取号,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 （1） 根据有用信号与干扰的频带位置 现代滤波器： 如果信号和干扰频谱相互重叠，就需要现代滤波器。它根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号。 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 （2）根据滤波特性划分 由于它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，设计时只能在误差容

3、限内逼近理想滤波器，无法实现。 数字滤波器的频率响应函数H(ej)都以2为周期。 低通滤波器的通频带中心：2的整数倍处； 高通滤波器的通频带中心： 的奇数倍处。 一般在-, 描述数字滤波器的频率响应特性。,图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 （3） 根据单位脉冲响应长度 （实现的网络结构）,N 阶IIR滤波器系统函数：,N-1阶FIR滤波器系统函数：,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 （4）根据滤波器对信号的处理作用 选频滤波器： 包含低通、高通、带通、带阻滤波器等。 其它滤波器： 微分器、希尔伯特变

4、换器、频谱校正等,2. 数字滤波器的技术指标 常用数字滤波器一般属于选频滤波器。 数字滤波器的传输函数 用下式表示： |H(ej)|：幅频特性函数 表示信号通过滤波器后各频率成分振幅衰减情况。 ()：相频特性函数 反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出。,图6.1.3 低通滤波器的幅频特性指标示意图,p：通带边界频率 通带频率范围为0|p，在通带中(1-1)|H(ej)|1 s：阻带截止频率。 阻带频率范围为s|，在阻带中|H(ej)|2。 过渡带：从p到s ，过渡带上的频响一般单调下降。 p与s间距越小, 过渡带就越窄。 通带内和阻带内允许的衰

5、减一般用分贝数表示： p：通带内允许的最大衰减 p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小 s： 阻带内允许的最小衰减 s 越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小,数字低通滤波器的设计指标完全由下列指标确定：,通带 阻带,片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数。 片段：通带 、阻带 常数：通带波纹幅度1 、阻带波纹幅度2 通带最大衰减 p 1 阻带最小衰减 s 2,对于单调下降幅频特性，p 和 s 可以表示为： 如果将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示为：,当幅度下降到 时，标记 =c 此时 c ：3 dB通带

6、截止频率。 p、c、s统称为边界频率，是滤波器设计中很重要的参数。,图6.1.3 低通滤波器的幅频特性指标示意图,3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法完全不同。 IIR滤波器设计方法有间接法和直接法： 间接法：借助模拟滤波器的设计方法。 设计步骤： （1）先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s) （2）将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器系统函数H(z) 直接法：直接在频域或者时域中设计数字滤波器。 由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。 FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有： 窗函数法、频率采样法、切比雪夫等波纹逼近法,线性相位滤波器，经常采用

7、FIR滤波器。 FIR滤波器的单位脉冲响应满足一定条件时，其相位特性在整个频带是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。 线性相位滤波器也可以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行校正，增加了设计与实现的复杂性。,模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程： （1）先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通 滤波器技术指标； （2）设计相应的低通滤波器； （3）采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种 滤波器。,本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法。 先介绍模拟低通滤波器的设计，因为低通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。,6.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法

8、已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择： 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。,巴特沃斯（Butterworth）滤波器 切比雪夫（ Chebyshev）滤波器 椭圆（ Ellipse）滤波器 贝塞尔（Bessel）滤波器,典型滤波器的特点： （1）巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性； （2）切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有 等波纹特性，可以提高选择性； （3）贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性； （4）椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但 通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特 性的非线性也稍严重

9、。,图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下： 可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)、线性常系数微分方程描述模拟滤波器。,模拟滤波器设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出 模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。,损耗函数（衰减函数）A()： 用来描述滤波器的幅频响应特性。 对归一化幅频响应函数，A()定义如下：,A()和|Ha(j)|是滤波器幅频响应特性的两种描述方法。 损耗函数的优点： 对幅频响应|Ha(j)|的取值非

10、线性压缩，放大了小的幅度，可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。 注：直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，习惯将A()曲线称为损耗函数。,图6.2.2 幅频响应与损耗函数曲线的比较,模拟低通滤波器的设计指标参数： p、s 、p、s p ：通带边界频率 s ：阻带截止频率 p ：通带最大衰减（通带0，p中允许A()的最大值） s ：阻带最小衰减（阻带s上允许A()的最小值）,图6.2.3 模拟低通滤波器的设计指标参数示意图,对于单调下降的幅度特性，p和s可表示成： c：3 dB截止频率。 1：通带波纹幅度 2 ：阻带波纹幅度，容易得到关系式：,滤波器的技术指标给定后，需

11、要设计一个系统函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标。 一般滤波器的单位冲激响应为实函数，因此 如果能由p、p、s、s求出|Ha(j)|2，就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。 Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha(s)的极点必然落在右半平面。这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。,6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计 1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2： N： 滤波器的阶数 = 0 ：|Ha(j)|=1 =c： ，c是3

12、dB截止频率。 在=c附近，随加大，幅度迅速下降。,图6.2.4 巴特沃斯低通滤波器幅度特性,幅度特性与和N的关系如图6.2.4所示。 幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大： （1）通带愈平坦 （2）过渡带愈窄 （3）过渡带与阻带幅度下降的速度愈快 （4）总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。 以 s 替换 j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,复变量s =+j，上式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示： 式中，k=0，1，2，2N-1。 2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(巴特沃斯圆)，间隔是 /N rad。 例如N=3，极点间隔为/3 rad，如下图所示。,图6.

13、2.5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图,为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表达式为： 设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0、s1、s2组成系统函数Ha(s)，即 由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一，将频率归一化。 巴特沃斯滤波器采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的系统函数为,令 p =+j= s/c， p 称为归一化复变量， =/c，称为归一化频率， 巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为：,式中，pk=sk/c, 为归一化极点，用

14、下式表示：,显然,因此，设计步骤为： （1）根据技术指标求出阶数N； （2）按照式 求出N个极点； （3）按照式 得到归一化低通原型 系统函数Ga(p)； （4）若给定c，再去归一化，即将p=s/c代入Ga(p)中 (或由公式求出sk=cpk)，便得到期望设计的系统函 数Ha(s)：,即：技术指标N N个极点Ga(p)Ha(s),将极点表示式代入归一化低通原型系统函数式，得到Ga(p)的另一种形式：分母是p的N阶多项式 系数bk，k=0，1，N1，以及极点pk，可以由表6.2.1得到。 表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到Ga(p)及各极点, 而且可以

15、选择级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解运算工作。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,只要求出巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率c，就可以求出滤波器的系统函数Ha(s)。 所以，巴特沃斯滤波器的设计就是： 根据设计指标求阶数 N 和3 dB截止频率c的过程。 阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标p、p、s和s确定。,将=s代入幅度平方函数式中， 再将幅度平方函数|Ha(j)|2代入式：,将=p代入幅度平方函数式：,再将幅度平方函数|Ha(j)|2代入式：,得到：,得到：,(6.2.16),(6.2.17),令,则N由下式表示：,由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于或等于N的最小整数。,可以按照式 或式 求出。,(6.2.19),(6.2.20),采用(6.2.19)式，通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余； 采用(6.2.20)式，阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。,3dB截止频率c：,分别得到：,根据技术指标p、p、s、s，用式 求出滤波器的阶数N。 按照式