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1、北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、(东城区2015届高三上学期期末)设等差数列的前项和为,若,则等于()(A) (B) (C) (D)2、(海淀区2015届高三上学期期中)若等比数列满足,且公比,则( )(A)(B)(C)(D)二、填空题1、(大兴区2015届高三上学期期末)已知数列为等差数列,若,则的前项和_2、(丰台区2015届高三上学期期末)等差数列的前n项和为,如果,那么等于_3、(海淀区2015届高三上学期期末)在等比数列中,若,则公比_;当_时,的前项积最大.4、(石景山区2015届高三上学期期末)为等差数列,公差,、成等比数列,则 5、(西城区
2、2015届高三上学期期末)在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右成等差数列,每列中的各数从上到下成等比数列,那么_6、(北京四中2015届高三上学期期中)在等差数列中,已知,则该数列前11项和 .7、(朝阳区2015届高三上学期期中)已知等差数列中,为其前项和.若,,则公差_;数列的前_项和最大.8、(东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试)数列的前项和记为,若,则数列的通项公式为_9、(海淀区2015届高三上学期期中)三、解答题1、(昌平区2015届高三上学期期末)已知数列满足,数列的前n项和为,,其中.(I) 求的值;(II) 证明:数列为等比数列;(III) 是否存在
3、,使得 若存在,求出所有的n的值;若不存在,请说明理由2、(朝阳区2015届高三上学期期末)若有穷数列,(是正整数)满足条件:,则称其为“对称数列”例如,和都是“对称数列”()若是25项的“对称数列”,且,是首项为1,公比为2的等比数列求的所有项和;()若是50项的“对称数列”,且,是首项为1,公差为2的等差数列求的前项和,.3、(东城区2015届高三上学期期末)已知数列是等差数列,满足,数列是公比为等比数列,且()求数列和的通项公式;()求数列的前项和4、(丰台区2015届高三上学期期末)已知数列满足.(I)求证:当时,数列为等比数列;(II)如果,求数列的前n项和;(III)如果表示不超过
4、的最大整数,当时,求数列的通项公式.5、(北京四中2015届高三上学期期中)已知数列满足:,.数列的前项和为,.()求数列,的通项公式;()设,.求数列的前项和.6、(朝阳区2015届高三上学期期中)在递减的等比数列中,设为其前项和,已知,.()求,;()设,试比较与的大小关系,并说明理由.7、(东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试)给定正奇数,数列:是1,2,的一个排列,定义E(,)为数列:,的位差和。(I)当时,求数列:1,3,4,2,5的位差和;(II)若位差和E(,)=4,求满足条件的数列:,的个数;(III)若位差和,求满足条件的数列:的个数。8、(海淀区2015届高三上学期
5、期中)已知是各项均为正数的等比数列,且成等差数列.()求的通项公式;()求数列的前项和.参考答案一、选择题1、C2、C二、填空题1、2、153、;4 4、40295、 6、887、2;38、三、解答题1、解:(I) 因为,所以.(或者根据已知,可得. ) 3分 (II) 证明: ,,故数列是首项为1,公比为2的等比数列. 7分(III)由 (II) 知,所以.设,又.则由,得,设,则,所以在上单调递增,即,所以在上单调递增又因为,所以仅存在唯一的,使得成立13分2、()依题意,.则,.则 .6分()依题意,因为是50项的“对称数列”,所以, 所以当时,;当时,.综上, .13分3、 4、解:(
6、I)当时,设,则当时,因为,所以为常数因为,所以,数列是首项为,公比为的等比数列4分(II)由(I)知时为首项为,公比为的等比数列,所以,设,则相减得设,即9分(III)由(I)可知设,由二项式定理可知为整数所以所以13分5、解: ()由得,又,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,于是,.当时,当时,又时,所以,. ()由()知,所以.所以 (1)等式两边同乘以得(2)(1)-(2)得所以.6、()由已知可得,解得或.由上面方程组可知,且已知数列为递减数列,所以.代入求得, 则. .6分 ()依题意,;,由于函数在定义域上为增函数,所以只需比较与的大小关系,即比较与的大小关系,=,由于,即
7、,所以 .即,即 .13分 7、解:(I)E(1,3,4,2,5)=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4;(3分)(II)若数列:,的位差和E(,)=4,有如下两种情况:情况一:当,且,其他项(其中)时,有种可能;(5分)情况二:当分别等于,或,或,其他项(其中)时,有种可能;(7分)综上,满足条件的数列:的个数为。(8分)例如:时, 情况一:形如2,1,4,3,5,共有2+1=3种:2,1,4,3,5;2,1,3,5,4;1,3,2,5,4; 情况二:形如3,2,1,4,5,共有5-2=3种:3,2,1,4,5;1,4,3,2,5;1,2,5,4,3; 形如2,3,
8、1,4,5,共有5-2=3种:2,3,1,4,5;1,3,4,2,5;1,2,4,5,3; 形如3,1,2,4,5,共有5-2=3种:3,1,2,4,5;1,4,2,3,5;1,2,5,3,4。(III)将去绝对值符号后,所得结果为112233的形式,其中恰好有个数前面为减号,这表明,(10分)此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为:2个1,2个2,2个和1个。(11分)上面的讨论表明,题中所求的数列是使得E()最大的数列,这样的数列在时,要求从1,2,中任选一个数作为,将剩余数中较大的个数的排列作为,的对应值,较小的个数的排列作为,的对应值,于是所求数列的个数为。综上,满足条件的数列的个数
9、为(14分)例如:时,E()。此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为:2个1,2个2和1个3。若E()=12,此时时,要求从1,2,3,4,5中任选一个数作为,将剩余数中较大的2个数的排列作为,的对应值,较小的2个数的排列作为的对应值,于是所求数列的个数为。4,5,1,2,3;4,5,1,3,2;5,4,1,2,3;5,4,1,3,2;4,5,2,1,3;4,5,2,3,1;5,4,2,1,3;5,4,2,3,1;4,5,3,1,2;4,5,3,2,1;5,4,3,1,2;5,4,3,2,1;3,5,4,1,2;3,5,4,2,1;5,3,4,1,2;5,3,4,2,1;3,4,5,1,2
10、;3,4,5,2,1;4,3,5,1,2;4,3,5,2,1。题目背景:假设现在有种物品,已经按照某种标准排列,并依次确定编号为1,2,鉴别师事先不知道物品的标准排列编号,而是根据自己的判断,对这种物品进行排列依次编号为,其中是1,2,的一个排列,那么可以用数列:的位差和E()=,来评判鉴别师的能力。当E()越小,说明鉴别师能力越强;反之越大,说明鉴别师能力越弱;当E()=0,说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致,判断完全正确;第二问,位差和E()=4时,给出数列:的情况;第三问,说明位差和E()最大值为,且给出取得最大值时,数列:的情况。8、解:()因为 成等差数列, 所以 . 2分 设数列的公比为,由可得, 4分即.解得:或(舍). 5分 所以 . 7分()由()得:. 所以 8分 9分 . 13分