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1、,第二章 球面和共轴球面系统,透镜是构成光学系统最基本的成像元件，它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通过透镜时会在这些面上发生折射。因此要研究透镜成像规律必须先了解单个球面的成像规律。,2-1 光线经过单个折射球面的折射,若干概念与术语, C：球面曲率中心。, OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n 的分界面。, OC：球面曲率半径, r。, O：顶点。, h：光线投射高度。,E,O,h,C,n,n,r,子午面: 包含物点（或物体）和光轴的光路截面。, 单个折射球面的结构参数： r , n , n。,给定了结构参数和物点A位置后，即可确定A点的像。,A,E,O,h,C,n,n,r
2、, AOC：光轴。（过A点与顶点O的连线）,-U, 物点A在光轴上，其到顶点O的距离OA为物方截距（而不是物距），用 L 表示。, 入射光线AE与光轴的夹角为物方倾斜角（也叫物方孔径角），用U 表示。,A,E,O,h,C,n,n,r,-L,1、符号规则,折射光线EA 由以下参量确定：,像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L表示。,像方倾斜角：折射光线EA 与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U 表示。,A,E,O,h,C,n,n,r,-L,-U,A,L,U,像方参数与对应的物方参数所用的字母相同，并加以“ ” 相区别。,只知道无符号的参数，光线可能有四种情况:,要确定光线的位置，仅有参量是不够
3、的，还必须对符号作出规定。,符号规则,（一）光路方向,从左向右为正向光路，反之为反向光路。,正向光路,反向光路,（二）线段,沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。, 原点规定：,（1）曲率半径 r 以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。,+r,-r,（2）物方截距L 和像方截距L 也以顶点O为原点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。,-L,+L,-L,-L,（3）球面间隔 d 以前一个球面的顶点为原点， 向右为正，向左为负。（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）,+d,+d,-d,2. 垂
4、轴线段：以光轴为界，上方为正，下方为负,（三）角度, 角度的度量一律以锐角 来度量，由起始边 顺时针转到终止边 为正，逆时针为负。, 起始边规定如下：,（1）光线与光轴的夹角，如U, U , 以光轴 为起始边。,-U,U,（2） 光线与法线的夹角，如I, I, 以光线 为起始边。,（3） 入射点法线与光轴的夹角（球心角），以光轴 为起始边。,练习：试用符号规则标出下列光组及光线的位置,（1）r = -30mm, L = -100mm, U = 10,（2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10,（3）r1 = 100mm, r2 = -200mm , d = 5mm, L
5、= -200mm, U = -10,（4）r = -40mm, L = 200mm, U = -10,（5）r = -40mm, L = -100mm, U = -10, L= -200mm,符号规则是人为规定的，一经定下，就要严格遵守，只有这样才能导出正确结果,注意事项,1、无论是计算还是推导公式，所做之图中的物理量一律标绝对值。2、根据几何图形进行数字计算时，要把参量和参量前的符号看成一个整体。3、教材中的所有公式都是遵循符号规则标注好图中各量，在计算时应注意各参量的符号。4、几何光学中各参量都符合符号规则，没有不带符号规则的参量（特殊情况除外）。,当结构参数 r , n , n 给定时，
6、只要知道 L 和 U ，就可求L 和 U,2、实际光线经过单个折射球面的光路计算公式,U,A,-L,O,E,-U,C,r,A,I,I,n,n,L,上述四个公式就是子午面内光路计算的大L计算公式，当 n, n, r 和 L, U 已知时，可依次求出U 和 L。,子午面内光路计算大L计算公式,当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光，此时有 L，U0,然后再按其它大L公式计算,例：已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-0.1、-0.5 、 -1、 -2 、 -3 的五条光线，分
7、别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L 和像方倾斜角U ）,3、 近轴光的光路计算公式,U= -1: U= 1.596415 L=150.7065mm,U= -2 : U= 3.291334 L=147.3711mm,U= -3 : U= 5.204484 L=141.6813mm,U= -0.1: U= 0.158076 L=151.8303mm,U= -0.5: U= 0.79227 L=151.5581mm,可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！,轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。,减小像差的途径：,（1）多个透镜组合,（2）采用非球面透镜
8、,！,A,E,O,C,n,n,-240mm, 这种通过公式来计算光线实际光路的过程称：光路追迹。,光学计算位数较多（一般取六位以上有效位），较繁复，为了避免计算错误，在求出U 后，还可以用下面校对公式进行验算,此公式不再推导。,折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善的，所成的像不是一点，而是个模糊的像斑，在光学上称其为弥散斑。,一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。,若将物方倾斜角U限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴的光线，即只考虑近轴光成像，这是可以认为可以成完善像,这时U，U，I，I 都很小，我们用弧度值来代替它的正弦值，并用小写字母表示。,同
9、时L，L也用小写表示。,则大L公式可写成：,称为小 l 公式,当无限远物点发出的平行光入射时，有,继续用其余三个公式。,小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式,O,E,C,r,i,n,n,h,例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n=1.5163l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l , u,与大L公式计算的结果比较：L=150.7065mm.（1） L=151.8303mm.（0.1）,左边是物方参量，右边是像方参量,物像位置关系式,对于近轴光而言，AE= - l ，EA= l , tgu = u, tgu = u,也可表示为,上式称为单
10、个折射球面物像位置公式,上述三个公式是一个公式的三种不同的表达形式，中间的公式表示成不变量Q的形式，称为“阿贝不变量”。, 它表明：当物点位置一定时，物空间和像空间的Q值相等。,给出了u 和 u 的关系,给出了l 和 l 的关系,其中：,由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知，l 与 u 无关。 这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的。, 由近轴细光束形成的完善像称为高斯像, 光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学。,在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正弦展开成级数，可得：,用代替了sin，误差是后面
11、各项的和。 愈大，误差愈大，很小时才有足够的精度。,误差所允许的范围就是近轴区的范围，它由相对误差,的大小来确定。,例： 0, 即 y 与 y 同号，表示成正立像。反之成倒立像。,对横向放大率的讨论,（2）若0, 即 l 与 l 同号，表示物像在折射球面同侧，物像虚实相反。反之l 与 l 异号，物像虚实相同。,可归结为： 0, 成正立像且物像虚实相反。 1, 则| y | | y |，成放大 像， 反之 |y | | y |，成缩小 像,还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小，则增大,（二）轴向放大率,轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它定义为物点沿光轴作微小移动 dl
12、时，所引起的像点移动量 dl 与 dl 之比，用表示。,（1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。,（2）轴向与垂轴放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面不可能获得与物体相似的立体像。,讨论：,（3）公式应用条件：dl 很小。,（三）角放大率,在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u 与 u 的比值，用表示,A,-l,O,E,-u,C,r,A,u,n,n,l,h,y,-y,B,B,可得,上式两边乘以n/n，并利用垂轴放大率公式，可得,上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。,角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力
13、，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关,将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：,上式为三种放大率的关系。,（四）三个倍率间的关系,（五）拉格朗日-赫姆霍兹不变量,即：,将 代入可得：,J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变u 来控制y 的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。,上式称为拉格朗日赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其n，u，y或n，u，y 的乘积为一常数 J。,例2-3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l=151.838mm，现求, y （横向放大率与像的大小）,解：,0：,|1：缩小,倒立、实像、两侧,上例中，若l1= - 100mm， l2= -30mm, 求像的位置大小。,当 l1= - 100mm 时： l1=365.113mm 1= - 2.4079 y1= - 48.1584mm,放大倒立实像，两侧,利用公式,当l2= - 30mm 时： l2= - 79.0548mm 2= 1.7379 y2= 34.7578mm,
