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1、突破数学抽象特点 提高学生数学思维常州市青龙中学 吴丹数学思维的主要形式是逻辑思维、形象思维、和直觉思维，具有逻辑的严谨性、高度的抽象性和概括性、丰富的直觉和想像等特点。这些特点使得数学思维在寻求事物的本质属性，探索事物间的普遍联系，预测事物的发展趋势，把握事物的内部结构等方面具有独特的功用。由于数学是一门研究思想事物的抽象科学，因此抽象性是数学思维的最基本的特征，也是数学思维最有力的“武器”。数学抽象的特点在于：第一，数学的抽象体现于将客观对象的其它特征抛弃，只保留它的数量关系和空间形式进行研究；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，它们所达到的
2、抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，高度的抽象必然有高度的概括，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的，并且大量地使用了抽象的符号。因此高度的抽象性是数学学科特点之一。高中数学，语言表达抽象，逻辑严密，思维严谨，知识连贯性和系统性强。鉴于中学生的年龄特点、思维特征以及认知结构，他们的抽象思维具有一定的局限性，这就要求教师在教学中应该采取相应的对策，以利于教学质量的提高，同时有利于学生数学抽象思维的提高。1抽象知识生活化数学是
3、抽象的，但数学是源于生活的，生活中充满着数学。在数学教学中，我们应顺应学生的思维状态，紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学，体会数学，让数学脱离抽象的五彩光环还学生一个清晰画面。从而使学生不再觉得数学是高不可及、遥不可攀、虚无飘渺的，使学生伴随着丰富的生活情境走进数学世界，使学生养成在生活中应用数学的思维习惯，这将使他们终身受益。教材中，生活的事例随处可见。讲解概率时，可以有乘车、排队、抽签、扑克、彩票多种生活实例让学生参与其中；讲解二分法时，可以仿做“幸运52”中的猜手机价格的游戏，让学生在玩中就领略了二分法的作用；讲解指数函数时
4、，对一张纸要达到珠峰的高度只需折叠的次数一定会使学生大吃一惊的。可以说从具体实例出发，是学生思维特点的需要，也符合抽象性和具体性的基本关系，有利于学生对抽象结论的理解。2抽象知识具体化 遇到一个复杂问题时，如果从特殊情况入手，通过对通俗的、简单问题的解决，往往会出现“柳暗花明又一村”的境地，使复杂的问题得以解决。这就是特殊化处理一般性。如抽象函数的有关性质对学生来说可是一个难点（通过它的名字你就能感觉得到它的特点）。我们经常可以这样去解决：先找出一个符合函数方程的具体的代表函数，通过对代表函数性质的分析，加深对抽象函数的各种性质的理解。在这里，代表函数就是急先锋，它逢山开道，遇水搭桥，在学生的
5、理解和抽象的符号之间建立起一座思维之桥，使学生可以沿着桥指方向到达彼岸，而不致在数学王国的迷宫里绕来绕去。当然，过了桥不是完事大吉了，还要回过头来看看桥的位置，记住它与别的桥的区别，防止再次迷路。所以，解决问题后，还要对此类问题的一般情况作一个思考归纳，加深对这类问题的认识。3抽象知识系统化站在系统的高度，注意比较知识间的联系和区别，不但有利于抓住问题本质，而且可以找出规律即共性，简化记忆，便于掌握。因为联系、规律、和谐正是数学科学的本来面目。不同的问题可用同一个手段、方法、思路去解决；同一个问题也可用不同的手段、方法、思路去解决。运用类比、归纳等方法，对各知识间的因果关系和本质联系进行探索，
6、可优化学生的认知结构，强化对抽象知识的理解，还可培养学生对知识的“迁移”能力。数学各知识间原本是盘根错节，又浑然一体的。若将各部分内容割裂、孤立，则违背了数学的逻辑性和系统性，那么知识就是一堆瓦砾，一盘散落的珠子。缺乏整理的知识难于被学生所理解和掌握，而站在系统的高度，对知识八方联系的结果，则愈来愈如“漫江碧透、鱼翔浅底”，知识好像在手心里，了若指掌。4抽象知识变式化 变式化是指从知识的本质属性出发，不断的变更问题情景，改变思维习惯或角度，不断迁移促使学生知识形成的教学方式。如在讲解y =恒等变形时，学生对此式感觉很抽象，没有思路。此时，可借助于一组变式，按照 y = sinx +cosx y
7、 = 3sinx +4cosxy =这样一个顺序循序渐进的方式，逐步揭示问题的本质，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，打通思维中的障碍，找到解决问题的办法。恰当的变式教学，可以提高学生思维的灵活性。5抽象知识内涵化新教材中有一个很大的变化，那就是在每一个新概念的引入时，都会加入对照的英文名称。这个变化是很有新意，也是很有意义的。这符合数学课程标准的课程目标：使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。很多的概
8、念、符号都是有其来历的。比如：任意x，为什么记作x，是因为若将“anyx缩写为“ax”，易引起误解，把a大写后，“Ax”仍易误会，便写成了x；积分符号为什么采用“”，它实质是一个拉长了的(和)，因为定积分是“分割”，做“和”，取“极限”，是求“和”，而S是sum(和)的第一个字母。这些知识本身或许并不重要，但如果我们对概念的形成多一份了解，就会对概念的作用多一份理解；如果我们能够透过抽象的符号看到它背后丰富而具体的内容，数学的面孔就会亲切很多，它们的抽象性和神秘性就会随之减少一分。学生也会觉得抽象的知识被赋予了一种生命的活力，不那么冷冰冰，难以理解，难以靠近。同时，对概念的内涵和外延也将体会得
9、更加透彻。6抽象知识图形化数形结合是高中四大数学思想之一。通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来；通过对图形的处理，发挥直观对抽象的作用，实现抽象概念和具体形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质问题来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，使数学问题得到解决。数学家华罗庚先生曾对数形结合的思想和方法赋诗：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。”教学中，可以用文氏图使得集合间的关系符号和集合运算符号具体化；可以用复平面内的点、向量让复数
10、具体化；可以用函数图像让函数生动具体。重视数形结合的数学思想，善于用形的具体来化解数的抽象，是高中学生的必修功课。7抽象知识形象化数学的抽象仿佛和文学的灵动是无法联系在一起的。其实不然，文学中那“只可意会，不能言传”的意境常使数学抽象知识的理解达到一种“豁然开朗、神形兼备”的感受。比如讲极限的时候，如能引用“孤帆远影碧空尽”这一诗句，来体会一个变量趋向于的动态意境，则很是传神。而这种传神，往往是几百句描述都无法达到的。再如讲授函数奇偶性概念中“任意”一词的重要性时，为了把所有的自变量与函数值之间关系均表示出来，需要运用符号及变元表示的思想，这种抽象的符号是学生理解中的难点。这个从特殊到一般的思
11、维过程借助诗句“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”则能形象的表现出来，既有利于突破教学的难点，又加深了学生对数学符号化使用的简洁与明确性的体会。而学生流露出的心领神会的微笑，更是体现出文学在数学课堂上的无穷魅力。8抽象知识信息化现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。普通高中数学课程标准中提到：“应重视信息技术与数学课程内容的有机整合，整合的原则是有利于对数学本质的认识。在教学中，应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。”而知识的抽象性正是课堂教学中难以呈现的内容之一。 在函数的单调性、奇偶性概念的学习中，最让学生感到困惑的是：如何突破
12、常量到变量的转化，从而达到由直观到抽象。几何画板的动态演示在解决此类问题中具有绝对的优势，它可以通过演示数量的变化特征，给学生以启发，从形的特征中找出它们在数值上的规律，形成函数奇偶性的定义。此外，东北师大开发的数学函数平台在演示常用函数的性质上具有简单实用的特点。这些好的软件都是我们可以利用的优质资源。 总之，数学学科本身具有无可否认的抽象性，数学需要在学校中落实为“学校数学”，在教师的手中成为“课堂数学”，更要在学生的眼中成为“通俗数学”。教科书里的数学知识，是形式化地摆在那儿的：准确的定义，逻辑的演绎，严密的推理，一个字一个字地印在纸上。这是知识的学术形态，学生比较难懂。而好的教师，不只讲推理，更要讲道理，把前人思维的结果印在书上的数学知识学术形式的知识，转化为学生容易接受的可用于教学的教学形态知识。采用多种策略，突破数学高度抽象这一特点，引领学生不断探索，从而提高学生的数学抽象思维，内化为学生的认知和技能，并获得积极的情感体验。
