《初中数学-二次函数课件(精华).ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学-二次函数课件(精华).ppt(36页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、26.1 二次函数及其图象 26.1.1 二次函数,第二十六章 二次函数,1、二次函数的定义,2、二次函数的图象及性质,3、抛物线的平移法则,4、二次函数解析式的三种形式,5、二次函数与一元二次方程的关系,6、二次函数的综合运用,二次函数,为什么a0呢?,我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数,其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.,一、二次函数的定义,1.定义:y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0),2.定义要点: (1)a0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式.,整式:整式是有理式的一部分,在有
2、理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式都统称为整式。,2x3 0.4X 3 xy是整式。xy不是整式,因为分母不能含有未知数,它是分式,分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式,因此其不是整式。所有单项式和多项式都是整式,练习: yx2,y2x2 3 , y1005x2, y=2x25x33 中有 个是二次函数。,一、二次函数的定义,2,3.若函数 为二次函数,求m的值.,温故知新,(1)一次函数yx2的图象与x轴的交点为( , ) 一元一次方程x20的根为_ (2) 一次函数y3x6的图象与x轴的交点为( , ) 一元一次方程3x60的根为_
3、思考:一次函数ykxb的图象与x轴的交点与一元一次方程kxb0的根有什么关系? 一次函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kxb0的根,2 0,2,2 0,2,函数yx22x3的图象与x轴两个交点为 (1,0)(3,0) 方程x22x3 0的两根是 x1 1 ,x2 3 你发现了什么? (1)二次函数yax2bxc与x轴的交点的横坐标就是当y0时一元二次方程ax2bxc0的根 (2)二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决,例题精讲,1. 求二次函数yx24x5与x轴的交点坐标 解:令y0 则x24x5 0 解之得,x1 5 ,x2 1 交点坐标为:(5,0)(1,0)
4、结论一: 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2, 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A( ), B( ) 思考:函数yx26x9和y2x23x5与x轴的交点坐标是什么?试试看!,X1,0,X2,0,探究二:二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗?,结论二: 函数与x轴有两个交点 方程有两不相等根 函数与x轴有一个交点 方程有两相等根 函数与x轴没有交点 方程没有根 方程的根的情况是由什么决定的? 判别式b24ac的符号,结论三: 对于二次函数yax2bxc,判别式又能给我们什么样的结论? (1)b24ac0 函数与x轴有两个交点 (2)b24
5、ac0 函数与x轴有一个交点 (3)b24ac0 函数与x轴没有交点,一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对称轴,课时小结:,二、二次函数的图象及性质,当a0时开口向上;当a0时开口向下.,(h,k),在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,直线x=h,x=h时 ymin=k,x=h时 ymax=k,函数 开口方向_ 顶点坐标是 , 对称轴是 . 当x 时.y随x的增大而 . 当x 时.y有最 值为 .,向上,减小,小,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:,知识回
6、顾:,1.当a0时,开口 , 当a0时,开口 ,,2.对称轴是 ;,3.顶点坐标是 。,向上,向下,(h,k),直线X=h,一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同, 不同,知识回顾:,y=ax2,y=a(x-h)2+k,形状,位置,左加右减,上正下负,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,三、抛物线的平移法则,上下,左右,1、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个 单位, 再向右平移 3个单位, 所得的抛物线的表达式_,三、抛物线的平移法则,上下,左右,2.若把抛物线y=x2
7、+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位, 得抛物线y=x2-2x+2, 则b= ,c= ,-8,15,四、a、b、c符号的确定,决定开口方向:,a、b同时决定对称轴位置:,决定抛物线与y轴的交点位置:,五、二次函数解析式的三种形式:,已知顶点坐标、对称轴或最值,已知任意三点坐标,已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0),2.已知抛物线过三点:A(1,2),B(0,1), C(2,7),求二次函数的解析式.,解:设二次函数的解析式为:,由已知得:,注:此题运用了二次函数的一般式,3.已知抛物线与x轴交于A(-1, 0),B(3, 0),且过点C(1, 2) ,求抛物线的函数解
8、析式.,解:由已知设函数的解析式为,抛物线过点C(1,2) ,注:此题运用了 二次函数的双根式,联想:二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决,那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢? 例如,二次函数yx22x3和一次函数yx2有交点吗?有几个? 分析:两个函数的交点是这两个函数的公共解,先列出方程组,消去y后,再利用判别式判断即可.,例题精讲 3.二次函数yx2x3和一次函数yxb有一个公共点(即相切),求出b的值. 解:由题意,得 消元,得 x2x3 xb 整理,得x22x (3 b) 0 有唯一交点 (2)2 4( 3 b) 0 解之得,b 4,yx2x3,yxb,选择合适的方
9、法求二次函数解析式:,1、抛物线经过(2,0)(0,-2)(-2,4)三点。,2、抛物线的顶点坐标是(6,-2),且与 X轴的一个交点的横坐标是8。,练习,有两个交点,有两个相异实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,一元二次方程ax2+bx+c=0的根 就是 二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标,六、二次函数与一元二次方程的关系,练习 已知抛物线yx2m xm1,(2)若抛物线与y轴交于正半轴,则m_,(1)若抛物线经过坐标系原点,则m_,(3)若抛物线的对称轴为y轴,则m_,(4)若抛物线与x轴只有
10、一个交点,则m_,= 1,1,= 2,= 0,不论x为何值时,函数 y=ax2+bx+c(a0)的值永远为正的条件是_ _,a0,0,.求抛物线 与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离. 何时y0?,3.已知抛物线和y轴的交点(0, ),和x 轴的一个交点(-1,0),对称轴是x =1. (1)求图象是这条抛物线的二次函数的解析式; (2)判断这个二次函数是有最大值还是有最小值, 并求出这个最大值或最小值,解法一 (1)设二次函数的解析式为,(2)由于,所以这个二次函数有最小值,,解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k,则由已知得 点(-1,0), 在图象上,所以,解这个二元一次方程组
11、,得,.,解法三 对称轴为x=1,一个交点(-1,0), 另一个交点为(3,0). 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).,.,注:此题的三种解法分别运用了二次函数的一般式、顶点式、双根式.,1.定义:一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx (a0,b0,c=0). 2.定义的实质是:ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.,定义中应该注意的几个问题:,