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1、2019/10/25,现代控制理论,1,2019/10/25,2,最优控制理论,东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授,二九年十一月,2019/10/25,3,第2章 求解最优控制的变分方法,第3章 最大值原理,第4章 动态规划,第5章 线性二次型性能指标的最优控制,第6章 快速控制系统,第1章 最优控制问题,最优控制理论 现代控制理论的重要组成部分 20世纪50年代 发展形成系统的理论 研究的对象 控制系统 中心问题 给定一个控制系统,选择控制规律,使系统在某 种意义上是最优的 统一的、严格的数学方法 最优控制问题 研究者的课题,工程师们设计控制系统时的目标 最优控制能在各个领域中得到应用,
2、效益显著,1.1 两个例子 1.2 问题描述,第1章 最优控制问题,1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,2019/10/25,现代控制理论,7,1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量,软着陆过程开始时刻 t 为零,K 为常数,2019/10/25,现代控制理论,8,1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量,软着陆过程开始时刻 t 为零,K 为常数,2019/10/25,现代控制理论,9,
3、1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量,软着陆过程开始时刻 t 为零,K 为常数,初始状态,2019/10/25,现代控制理论,10,1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量,软着陆过程开始时刻 t 为零,K 为常数,初始状态,终点条件,2019/10/25,现代控制理论,11,1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自
4、身质量 F 燃料的质量,软着陆过程开始时刻 t 为零,K 为常数,初始状态,终点条件,控制目标,2019/10/25,现代控制理论,12,1.1 两个例子,例1.1 飞船软着陆问题,m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量,软着陆过程开始时刻 t 为零,K 为常数,初始状态,终点条件,控制目标,推力方案,2019/10/25,现代控制理论,13,例1.2 导弹发射问题,例1.2 导弹发射问题,2019/10/25,现代控制理论,15,例1.2 导弹发射问题,2019/10/25,现代控制理论,16,例1.2 导弹发射问题,初始条件,201
5、9/10/25,现代控制理论,17,例1.2 导弹发射问题,初始条件,末端约束,2019/10/25,现代控制理论,18,例1.2 导弹发射问题,初始条件,末端约束,指标,2019/10/25,现代控制理论,19,例1.2 导弹发射问题,初始条件,末端约束,指标,控制,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式为,2019/10/25,现代控制理论,21,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式为,2019/10/25,现代控制理论,22,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式为,为n维状态向量,2019/10/25,现代控制理论,23,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式
6、为,为n维状态向量,为r 维控制向量,2019/10/25,现代控制理论,24,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式为,为n维状态向量,为r 维控制向量,为n维向量函数,2019/10/25,现代控制理论,25,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式为,为n维状态向量,为r 维控制向量,为n维向量函数,给定控制规律,2019/10/25,现代控制理论,26,1.2 问题描述,(1) 状态方程 一般形式为,为n维状态向量,为r 维控制向量,为n维向量函数,给定控制规律,满足一定条件时,方程有唯一解,(2) 容许控制,2019/10/25,现代控制理论,28,(2) 容许控制,:,2
7、019/10/25,现代控制理论,29,(2) 容许控制,:,2019/10/25,现代控制理论,30,(2) 容许控制,:,有时控制域可为超方体,2019/10/25,现代控制理论,31,(2) 容许控制,:,有时控制域可为超方体,(3) 目标集,2019/10/25,现代控制理论,33,(3) 目标集,2019/10/25,现代控制理论,34,(3) 目标集,n维向量函数,2019/10/25,现代控制理论,35,(3) 目标集,固定端问题,n维向量函数,2019/10/25,现代控制理论,36,(3) 目标集,固定端问题,自由端问题,n维向量函数,(4) 性能指标,2019/10/25,
8、现代控制理论,38,(4) 性能指标,2019/10/25,现代控制理论,39,(4) 性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求,复合型性能指标,2019/10/25,现代控制理论,40,(4) 性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求,复合型性能指标,2019/10/25,现代控制理论,41,(4) 性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求,复合型性能指标,积分型性能指标,表示对整个状态和控制过程的要求,2019/10/25,现代控制理论,42,(4) 性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求,复合型性能指标,积分型性能指标,表示对整个状态和控制过程的要求,2019/10/25,现代控制理论
9、,43,(4) 性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求,复合型性能指标,积分型性能指标,表示对整个状态和控制过程的要求,终点型指标,表示仅对终点状态的要求,2.1 泛函与变分法基础 2.2 欧拉方程 2.3 横截条件 2.4 含有多个未知函数泛函的极值 2.5 条件极值 2.6 最优控制问题的变分解法,第2章 求解最优控制的变分方法,求解最优控制的变分方法,2.1 泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,2019/10/25,现代控制理论,46,求解最优控制的变分方法,2.1 泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,2019/10/25,现代控制理论,47,求解最优控制的变分方法,2
10、.1 泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,一般来说,曲线不同,弧长就不同,即弧长依赖于曲线,记为,2019/10/25,现代控制理论,48,求解最优控制的变分方法,2.1 泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,一般来说,曲线不同,弧长就不同,即弧长依赖于曲线,记为,称为泛函,称为泛函的宗量,泛函与函数的几何解释,2019/10/25,现代控制理论,50,泛函与函数的几何解释,2019/10/25,现代控制理论,51,泛函与函数的几何解释,宗量的变分,2019/10/25,现代控制理论,52,泛函与函数的几何解释,宗量的变分,泛函的增量,2019/10/25,现代控制理论,53,泛
11、函与函数的几何解释,宗量的变分,泛函的增量,泛函的变分,2019/10/25,现代控制理论,54,泛函与函数的几何解释,连续泛函 宗量的变分趋于无穷小时,泛函的变分也趋于无 穷小 线性泛函 泛函对宗量是线性的,宗量的变分,泛函的增量,泛函的变分,求解最优控制的变分方法,定理2.2 若泛函,有极值,则必有,上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用,2.6 最优控制问题的变分解法,2.6.4 终值时间自由的问题,2.6.3 末端受限问题,2.6.2 固定端问题,2.6.1 自由端问题,2.6.1 自由端问题,约束方程,新的泛函,令,有,哈米顿函数,进行变分,令,有,伴随方程,必要条件,例2.5,
12、哈米顿函数,伴随方程,边界条件,必要条件,最优控制,代入状态方程并求解,令,2.6.2 固定端问题,性能指标,分部积分,进行变分,令变分为零,边界条件,指标泛函,例2.6 考虑如下系统的终端固定的最优控制问题,求取最优控制 和最优状态曲线,使指标泛函 J 取得极小值。 系统的状态方程:,2019/10/25,现代控制理论,63,哈米顿函数,伴随方程,由状态方程,代入初始和终端条件,可求得,2019/10/25,现代控制理论,64,4. 考虑如下系统的终端固定的最优控制问题,求取最优控制 和最优状态曲线,使指标泛函J取得极小值。 系统的状态方程为:,其边界条件为:,其指标泛函为:,2019/10
13、/25,现代控制理论,65,哈米顿函数,伴随方程,2019/10/25,现代控制理论,66,2.6.3 末端受限问题,新的泛函,变分,必要条件,2.6.4 终值时间自由的问题,T 有时是可变的,是指标泛函,选控制使有 T 极小值,变分,必要条件,例2.7,指标泛函,哈米顿函数,伴随方程,必要条件,3.1 古典变分法的局限性 3.2 最大值原理 3.3 变分法与极大值原理,第3章 最大值原理,3.1 古典变分法的局限性,u(t)受限的例子,例3.1,伴随方程,极值必要条件,矛盾!,3.2 最大值原理,定理3.1 (最小值原理) 设为 容许控制, 为对应的积分轨线,为使 为最优控制, 为最优轨线,
14、必存在一向量函数 ,使得 和 满足正则方程,且,最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统,最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。,例3.2 重解例3.1,哈密顿函数,伴随方程,由极值必要条件,知,又,于是有,协态变量与控制变量的关系图,例3.3,性能指标泛函,哈密顿函数,伴随方程,上有,协态变量与控制变量的关系图,整个最优轨线,例3.4,把系统状态在终点时刻转移到,性能指标泛函,终点时刻是不固定的,哈米顿函数,伴随方程,H是u的二次抛物线函数,u在 上一定使H有最小值,可能在内部,也可能在边界上。,最优控制可能且只能取三个值,此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件,最
15、优控制,最优轨线,最优性能指标,例3.5,使系统以最短时间从给定初态转移到零态,哈米顿函数,伴随方程,最优控制切换及最优轨线示意图,3.3 古典变分法与最小值原理,古典变分法适用的范围是对u无约束,而最小值原理一般都适用。特别当u不受约束时,条件,就等价于条件,4.1 多级决策过程与最优性原理 4.2 离散系统动态规划 4.3 连续系统动态规划 4.4 动态规划与最大值原理的关系,第4章 动态规划,动态规划是求解最优控制的又一种方法,特别对离散型控制系统更为有效,而且得出的是综合控制函数。这种方法来源于多决策过程,并由贝尔曼首先提出,故称贝尔曼动态规划。,4.1 多级决策过程与最优性原理,作为
16、例子,首先分析最优路径问题,(a) (b) (c),试分析(a),(b)和(c)三种情况的最优路径,即从 走到 所需时间最少。规定沿水平方向只能前进不能后退。,(a)中只有两条路径,从起点开始,一旦选定路线,就直达终点,选最优路径就是从两条中选一条,使路程所用时间最少。这很容易办到,只稍加计算,便可知道,上面一条所需时间最少。 (b)共有6条路径可到达终点,若仍用上面方法,需计算6次,将每条路线所需时间求出,然后比较,找出一条时间最短的路程。 (c)需计算20次,因为这时有20条路径,由此可见,计算量显著增大了。,逆向分级计算法,逆向是指计算从后面开始,分级是指逐级计算。逆向分级就是从后向前逐级计算。,以(c)为例,从倒数第一级开始,状态有两个,分别为,和,在,处,只有一条路到达终点,其时间是,;在,处,也只有一条,时间为1。后一条时间最短,将此时间相应地标在 点上