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1、2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题2008年5月18日(14：30一16：30)一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)1. 设集合，则集合的非空真子集的个数为 （ ）（A）13 （B） 14 （C） 15 （D） 162. 在公差为4的正项等差数列中，与2的算术平均值等于与2的几何平均值，其中表示数列的前三项和，则为 （ ）（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 443. 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各2人的概率为 （ ）（A） （B） （C） （D） 4. 设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的
2、中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为 （ ）（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 45. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点为椭圆上的一点，则当取最小值的时候，的值为 （ ）（A） （B）3 （C） 5 （D） 6. 设则的最小值为 （ ）（A） （B） （C） 1 （D）二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7. 函数的最小值为_ . 8. 函数对任意的满足，且，则_.9. 设数列满足：，则的最大公约数为_ .12345678910. 已知正实数满足，则的最小值为_ .11. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜
3、色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _ 种。12. 数列、满足：，且，则_. 三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13. 是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明14. 设是抛物线的焦点，橙子奥数欢迎您，为抛物线上异于原点的两点，且满足延长分别交抛物线于点（如图）求四边形面积的最小值15. 已知与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）求证：16. 已知，其中正整数（1）求证：对于一切的正整数，都；（2）求的最小值，其中约定2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时
4、，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C二、填空题（本大题满分30分，每小题5分） 7、8 8、 9、3 10、 11、108 12、三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13、是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明解：存在符合条
5、件的二次函数 5分设，则当时有： ； ；联立、，解得于是，10分下面证明：二次函数符合条件因为，同理：； 15分所以，所求的二次函数符合条件 20分14、设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足延长分别交抛物线于点（如图）求四边形面积的最小值解：设，由题设知，直线的斜率存在，设为因直线过焦点，所以，直线的方程为联立方程组，消得由根与系数的关系知：， 5分 于是 10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得 15分故当时等号成立所以，四边形的最小面积为32 20分15、已知与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）橙子奥数工作室欢迎您求证：证明：如图，连结 分别与相切于 和都是的半径， 5分 由对称性知，且于 ，即 10分又， 15分过作两圆的公切线，则又，即 故 20分16、已知，其中正整数（1）求证：对于一切的正整数，都有；（2）求的最小值，其中约定（1）证明：对于一切的正整数，5分（2）由不等式知 10分 15分当时，等于成立，所以有最小值20分
