03第三章随机过程概要

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1、通信原理,含弘光大 继往开来,2,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,通信教研室,3,通信原理【 第三章：随机过程】,学习目标, 学习要点 1、随机过程的基本概念； 2、随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）； 3、平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度； 4、高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数； 5、随机过程通过线性系统、输出和输入的关系； 6、窄带随机过程的表达式和统计特性； 7、正

2、弦波加窄带高斯过程的统计特性； 8、高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。,通信教研室,4,通信原理【 第三章：随机过程】,学习目标, 重点 1、概念： 随机过程的定义；狭义平稳和广义平稳；各态历经的含义与意义；高斯过程的性质；窄带过程的两个结论；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；功率谱密度的意义。 2、计算： 数字特征（均值、方差、相关函数）；一维概率密度函数和分布函数；平稳过程自相关函数的性质；维纳辛钦定理；随机过程的总（平均）功率；平稳过程、高斯过程、白噪声通过线性系统。,通信教研室,5,通信原理【 第三章：随机过程】,学习目标, 难点 1、平稳过程与各态历经性。 2、平稳过程的

3、几个关系。 3、各态历经性的意义。 4、自相关函数的意义。 5、随机过程是否存在傅里叶变换。 6、功率谱密度（PSD）的意义。 7、功率谱密度（PSD）的求法。 8、随机过程（归一化）平均功率的几种求法。 9、独立、相关、正交的关系。,通信教研室,6,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,通信教研室,7,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,引 言 在通信系统的分析中，随机过程（random proc

4、ess）是非常重要的数学工具。通信中的信源、噪声以及信号传输特性都可以使用随机过程来描述。, 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：,1）角度1： 对应不同随机试验结果的时间过程的集合，即随机过程是所有样本函数的集合。,通信教研室,8,通信原理【 第三章：随机过程】,接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的。,全部样本函数的集合： ，就是一个随机过程。,第一节 随机过程,例：n台示波器同时观测并记录n台接收机的输出噪声波形。,通信教研室,9,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,在任一给定时刻 t1上，每一个样本

5、函数 都是一个确定的数值 ，但是每个 都是不可预知的。在一个固定时刻 t1上，不同样本的取值 是一个随机变量，记为 。,2）角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,可见，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。,随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,通信教研室,10,通信原理【 第三章：随机过程】,一、随机过程的分布函数 设 表示一个随机过程，则它在任意时刻t1 的值 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。,第一节 随机过程,1、随机过程 的一维分布函数：

6、,2、随机过程 的一维概率密度函数：,（上式存在偏导）,通信教研室,11,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,3、随机过程 二维分布函数：,4、随机过程 的二维概率密度函数：,（上式存在偏导）,5、随机过程 的n维分布函数：,6、随机过程 的n维概率密度函数：,通信教研室,12,通信原理【 第三章：随机过程】,二、随机过程的数字特征（） 实际运用中，往往不容易或不需要求出分布函数或概率密度函数，而是用数字特征来描述随机过程的主要特征。,第一节 随机过程,1、均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 是一个随机变量，其均值定义为：,由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x

7、1改为x，这样上式就变为,通信教研室,13,通信原理【 第三章：随机过程】,的均值是时间的确定函数，常记作 ，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：,第一节 随机过程,通信教研室,14,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,2、方差： 随机过程的方差定义为：,由于t1是任取的，所以也把t1直接写为t，因为,方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值 的偏离程度。,通信教研室,15,通信原理【 第三章：随机过程】,3、相关函数 在描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度时，常采用协方差函数和自相关函数。,第一节 随机过程,1）协方差函数,式中 、

8、 是在t1和t2时刻得到的 的均值 ; 是 的二维概率密度函数。,通信教研室,16,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,2）自相关函数,式中， 和 分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量可以看出， 是两个变量t1和t2的确定函数。, 自相关函数和协方差函数之间的关系,通信教研室,17,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,4、互相关函数 描述两个或两个以上随机过程之间的关联程度。,通信教研室,18,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正

9、弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,通信教研室,19,通信原理【 第三章：随机过程】,一、平稳随机过程（stationary random process ）的定义 1、定义： 若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n 和所有实数，有,第二节 平稳随机过程,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,通信教研室,20,通信原理【 第三章：随机过程】,2、性 质 1）平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的 一维分布函数与时间t无关，即 ；,第二节 平稳随机过程,2）二维分布函数只与时间间隔 有关，即,3

10、、数字特征,1）其均值与 t 无关，为常数a，即,2）自相关函数只与时间间隔有关，即,通信教研室,21,通信原理【 第三章：随机过程】,能同时满足1）、2）的随机过程定义为广义平稳随机过程（generalized stationary random process）。 显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。,第二节 平稳随机过程,在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。 通信中通常对广义平稳随机过程（简称平稳过程）进行研究和分析。,通信教研室,22,通信原理【 第三章：随机过程】,二、各态历经性（ergodicity

11、）,第二节 平稳随机过程,1、问题的提出： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。那么，能否从一次试验而得到的一个样本函数(t)来决定平稳过程的数字特征呢？,平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。 具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,通信教研室,23,通信原理【 第三章：随机过程】,2、各态历经性条件 设 是平稳过程 的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：,第二节 平稳随机过程,如果

12、平稳过程使下式成立,则称该平稳过程具有各态历经性。,平稳过程的统计平均值等于 它任一次实现的时间平均值,通信教研室,24,通信原理【 第三章：随机过程】, “各态历经”的含义： 随机过程中的任一次实现(样本)都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,第二节 平稳随机过程,通信教研室,25,通信原理【 第三章：随

13、机过程】,例3-1 设一个随机相位的正弦波为 ，其中 A和c均为常数；是在（0，2）内均匀分布的随机变 量。试讨论(t)是否具有各态历经性。,第二节 平稳随机过程,解:（1）先求(t)的统计平均值。,数学期望,通信教研室,26,通信原理【 第三章：随机过程】,自相关函数,第二节 平稳随机过程,令t2 t1 = ，得到,可见，(t)的数学期望为常数，自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳随机过程。,通信教研室,27,通信原理【 第三章：随机过程】,第二节 平稳随机过程,（2）求(t)的时间平均值。,比较统计平均与时间平均，有,因此，随机相位余弦波是各态历经的。,通信教研室,2

14、8,通信原理【 第三章：随机过程】,三、平稳过程的自相关函数 自相关函数是描述平稳过程特性的一个特别重要的函数。它不仅可以描述平稳过程的数字特征，还与平稳过程的谱特性有着内在的联系。,第二节 平稳随机过程,1、自相关函数定义：,2、自相关函数性质：,1）(t)的平均功率：,2）的偶函数：,3）R()的上界：,自相关函数在 = 0有最大值,通信教研室,29,通信原理【 第三章：随机过程】,第二节 平稳随机过程,4）(t)的直流功率：,5）(t)的交流功率（方差）：,当均值为0时，有,通信教研室,30,通信原理【 第三章：随机过程】,四、平稳过程的功率谱密度 平稳过程的频谱特性可用它的功率谱密度（

15、PSD）来描述。,第二节 平稳随机过程,1、定义 对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为,式中， 是 的截短函数 所对应的频谱函数。,通信教研室,31,通信原理【 第三章：随机过程】,对于平稳随机过程 ，可以把 当作是 的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 的功率谱密度可以定义为,第二节 平稳随机过程,问题：实际中，根据定义式计算功率谱密度并不容易，那么如 何方便地求解功率谱呢？,方法：非周期功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是 一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立。,通信教研室,32,通信原理【 第三章：随机过程】,2、功率谱密度的计算（维纳辛钦关系）,第二节 平稳随机过程,简记为,以上关系称为维纳辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,通信教研室,33,通信原理【 第三章：随机过程】,3、结 论 1）当 时，对PSD进行积分，则可得到平稳过程的总功率,第二节 平稳随机过程,上式从频域的角度给出了过程(t)平均功率的计算方法。,时域计算方法：(t)的平均功率为,2）各态历经过程的任一样本函数的PSD等于过程的PSD。即， 每一样本函数的谱特性都能表现整个过程的的谱特性。,3）PSD具有非负